Nhân và chia đa thức

$$A (B + C) = A B + A C.$$ $$A (B + C + D) = A B + A C + A D.$$ Quy tắc phân phối: nhân từng hạng tử với đơn thức bên ngoài.

$$(A + B)(C + D) = A C + A D + B C + B D.$$ Tổng quát: nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia.

$$(a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3.$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3.$$ Có thể nhớ qua tam giác Pascal: 1, 3, 3, 1.

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$$ → Phân tích hiệu hai bình phương thành tích. Vd: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Vd: $4 x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5)$.

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$ Vd: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Vd: $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$$ → Phân tích tổng/hiệu lập phương thành tích.

$$(A + B + C) : D = A : D + B : D + C : D.$$ Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức.

Cho đa thức $A(x)$ (bậc $m$) chia đa thức $B(x)$ (bậc $n$) với $m \geq n$: $$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x),$$ với $Q(x)$ = thương (bậc $m - n$), $R(x)$ = dư (bậc $< n$ hoặc $R = 0$). $R = 0$: phép chia hết; $A(x)$ chia hết cho $B(x)$.

Bước 1. Nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức. Bước 2. Quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Bước 3. Cộng các đơn thức đồng dạng (nếu có). Vd: $2x(3x^2 - 5x + 1) = 6x^3 - 10x^2 + 2x$.

Bước 1. Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai. Bước 2. Cộng các tích thu được. Bước 3. Cộng các đơn thức đồng dạng → rút gọn. Vd: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2$.

Nhận biết các hạng tử có chung 1 thừa số → đưa ra ngoài: $$A B + A C - A D = A (B + C - D).$$ Vd: $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Vd: $5x^3 y - 10x^2 y^2 = 5x^2 y (x - 2y)$.

Khi không có nhân tử chung toàn bộ → nhóm các hạng tử có nhân tử chung từng nhóm: $AB + AC + DB + DC = A(B + C) + D(B + C) = (B + C)(A + D)$. Vd: $x^2 - xy + 3x - 3y = x(x - y) + 3(x - y) = (x - y)(x + 3)$.

Nhận dạng biểu thức = một hằng đẳng thức:

• $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
• $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$.

Vd: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$. $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Tìm nghiệm $a$ của đa thức $P(x) = 0$. Khi đó $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$. Vd: $P(x) = x^3 - 7x + 6$. Thử $x = 1$: $1 - 7 + 6 = 0 \Rightarrow (x-1) | P$. Chia: $P(x) = (x - 1)(x^2 + x - 6) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$.

Với đa thức bậc 2: $ax^2 + bx + c$, tách $bx = b_1 x + b_2 x$ sao cho $b_1 b_2 = ac, b_1 + b_2 = b$: $x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x + 12 = x(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x-4)$. Thêm bớt cùng 1 hạng tử: $x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

Bước 1. Kiểm tra điều kiện chia hết: mỗi hạng tử chia hết cho đơn thức. Bước 2. Chia từng hạng tử cho đơn thức. Bước 3. Quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số: $x^m : x^n = x^{m-n}$ (với $m \geq n$). Bước 4. Cộng các thương → kết quả. Vd: $(6x^3 - 4x^2 + 2x) : 2x = 3x^2 - 2x + 1$.

Bước 1. Sắp xếp $A(x), B(x)$ theo lũy thừa giảm dần của $x$. Bước 2. Chia hạng tử bậc cao nhất của $A$ cho hạng tử bậc cao nhất của $B$ → hạng tử đầu của thương. Bước 3. Nhân hạng tử thương vừa tìm với $B$, trừ kết quả khỏi $A$. Bước 4. Lặp lại với đa thức mới cho đến khi bậc < bậc $B$. Bước 5. Kết quả: thương $Q$, dư $R$.

Trước khi nhân khai triển, kiểm tra có thuộc dạng hằng đẳng thức:

• $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
• $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

→ Dùng hằng đẳng thức trực tiếp, không cần khai triển → nhanh + chính xác hơn.

Học thuộc đầy đủ 7 hằng đẳng thức: 1. $(a + b)^2$, 2. $(a - b)^2$, 3. $a^2 - b^2$, 4. $(a+b)^3$, 5. $(a-b)^3$, 6. $a^3 + b^3$, 7. $a^3 - b^3$. Áp dụng: nhận dạng nhanh trong biểu thức cần khai triển / rút gọn / phân tích nhân tử.

Sau mỗi bước phân tích, kiểm tra từng nhân tử xem còn phân tích được nữa không:

• $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ — dừng vì $x^2 + 1$ không tách được.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ — kiểm tra $x^2 + 2x + 4$ có $\Delta = 4 - 16 < 0$ → vô nghiệm thực → dừng.

Bài bị mất điểm nếu thấy hết nhân tử mà không nhận ra.

1. Đặt nhân tử chung (nếu có) — luôn ưu tiên. 2. Dùng hằng đẳng thức — nhận dạng nhanh. 3. Nhóm hạng tử. 4. Tách / thêm bớt. 5. Nghiệm (Bézout) — cho đa thức bậc 3+. Thử các phương pháp theo thứ tự đến khi phân tích hết.

Dư của phép chia $A(x)$ cho $(x - a)$ = $A(a)$. → Không cần chia dọc, chỉ cần thay $x = a$. Vd: $A(x) = x^3 - 2x + 5$ chia $(x - 1)$, dư = $A(1) = 1 - 2 + 5 = 4$. Hệ quả: $A(x)$ chia hết cho $(x - a) \Leftrightarrow A(a) = 0 \Leftrightarrow a$ là nghiệm của $A(x) = 0$.

Sai lầm phổ biến: $a^2 + b^2 = (a + b)^2$ hoặc $(a + b)(a - b)$ — đều SAI.

• $a^2 + b^2$ trên $\mathbb{Q}/\mathbb{R}$: không phân tích được thành tích các đa thức bậc 1.
• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (có $2ab$).
• $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ (dấu trừ).

→ Khi gặp $a^2 + b^2$: dừng, không phân tích thêm. Hoặc tìm cách thêm/bớt trung gian.