Một số yếu tố xác suất

Phép thử ngẫu nhiên: một hành động/thí nghiệm:

• Có nhiều kết quả có thể.
• Không biết trước kết quả nào sẽ xảy ra.

Vd: tung 1 đồng xu, gieo 1 con xúc xắc 6 mặt.

Khi các kết quả của phép thử đồng khả năng: $$P(A) = \dfrac{\text{số kết quả thuận lợi cho } A}{\text{tổng số kết quả}}.$$ $0 \leq P(A) \leq 1$.

Khi không thể tính trực tiếp (xác suất cổ điển), ta dùng xác suất thực nghiệm: $$P_N(A) = \dfrac{\text{số lần } A \text{ xảy ra trong } N \text{ lần thử}}{N}.$$ Còn gọi là tần suất của $A$ trong $N$ lần thử.

Bước 1. Xác định không gian mẫu, đếm tổng số kết quả $n(\Omega)$. Bước 2. Mô tả biến cố $A$, đếm số kết quả thuận lợi $n(A)$. Bước 3. $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$. Bước 4. Rút gọn phân số → kết quả cuối.

Khi $N$ đủ lớn: $$P_N(A) \approx P(A) \quad \text{(xác suất lý thuyết)}.$$ Càng lặp nhiều lần → tần suất càng gần xác suất thực sự. → Dùng xác suất thực nghiệm để ước lượng xác suất khi không tính được trực tiếp.

Một số phép thử cơ bản:

• Tung 1 xu: $\{N, S\}$ (ngửa, sấp) — 2 kết quả.
• Tung 2 xu: $\{NN, NS, SN, SS\}$ — 4 kết quả.
• Gieo 1 xúc xắc: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ — 6 kết quả.
• Gieo 2 xúc xắc: cặp $(i, j)$ với $i, j \in \{1,...,6\}$ — 36 kết quả.
• Rút 1 lá bài: 52 kết quả.

Dùng xác suất thực nghiệm khi:

• Không biết các kết quả có đồng khả năng không (vd đồng xu không cân đối).
• Phép thử phức tạp, khó liệt kê kết quả.
• Bài thực tế: tỉ lệ sản phẩm lỗi, tỉ lệ học sinh giỏi,...

Vd: gieo 1 đồng xu 1000 lần, mặt ngửa 480 lần → $P_N(\text{ngửa}) = 0.48 \approx 0.5$ ($P$ lý thuyết).