Định lí Pythagore. Tứ giác

Tứ giác $ABCD$ gồm 4 đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$, trong đó 2 đoạn liên tiếp không thẳng hàng.

• 4 đỉnh: $A, B, C, D$.
• 4 cạnh: $AB, BC, CD, DA$.
• 4 góc: $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}, \widehat{D}$.
• 2 đường chéo: $AC, BD$.

Hình thang vuông = hình thang có 1 cạnh bên vuông góc với 2 đáy (đồng nghĩa: 1 cạnh bên = chiều cao).

Hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$): tứ giác có 2 cạnh đối song song.

• $AB, CD$: 2 cạnh đáy ($AB$ = đáy nhỏ, $CD$ = đáy lớn nếu $AB < CD$).
• $AD, BC$: 2 cạnh bên.
• Đường cao: khoảng cách giữa 2 đáy.
• Đường trung bình: đoạn nối trung điểm 2 cạnh bên.

Hình thang cân = hình thang có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau. → Tương đương: 2 cạnh bên bằng nhau.

Hình bình hành = tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song. Đặc biệt: cũng là hình thang có 2 cặp cạnh đối song song.

Hình chữ nhật = tứ giác có 4 góc vuông. Là hình bình hành đặc biệt (4 góc bằng nhau = $90°$). Cũng là hình thang cân đặc biệt.

Hình thoi = tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. Là hình bình hành đặc biệt (có thêm 4 cạnh bằng nhau).

Hình vuông = tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau. Tức vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền = tổng bình phương 2 cạnh góc vuông: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad (\text{vuông tại } A).$$ Ký hiệu chung: $c^2 = a^2 + b^2$ với $c$ = huyền, $a, b$ = 2 cạnh góc vuông.

Nếu tam giác có 3 cạnh $a, b, c$ thoả: $$c^2 = a^2 + b^2,$$ thì tam giác đó vuông tại đỉnh đối diện cạnh $c$. → Dùng để kiểm tra một tam giác là tam giác vuông.

Tổng số đo 4 góc trong của tứ giác bằng $360°$: $$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°.$$ (Chia tứ giác bằng 1 đường chéo → 2 tam giác, tổng góc mỗi tam giác = $180°$.)

• Tứ giác lồi: cả 4 đỉnh nằm cùng phía với mỗi cạnh.
• Tứ giác lõm: có ít nhất 1 đỉnh nằm khác phía.

Các tứ giác đặc biệt (đều là tứ giác lồi): Hình thang → hình thang cân → hình bình hành → hình chữ nhật → hình vuông; hoặc → hình thoi → hình vuông.

Đường trung bình $MN$ ($M$ = trung điểm $AD$, $N$ = trung điểm $BC$):

• $MN \parallel AB$ (và $CD$).
• $MN = \dfrac{AB + CD}{2}$ (trung bình cộng 2 đáy).

Hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$):

• 2 cạnh bên: $AD = BC$.
• 2 góc kề 1 đáy bằng nhau: $\widehat{A} = \widehat{B}$ (kề đáy $AB$), $\widehat{C} = \widehat{D}$.
• 2 đường chéo: $AC = BD$.
• Trục đối xứng: đường thẳng đi qua trung điểm 2 đáy (vuông góc 2 đáy).
• Nội tiếp được đường tròn.

Hình bình hành $ABCD$:

• 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau: $AB \parallel CD, AB = CD$; tương tự cho $AD, BC$.
• 2 cặp góc đối bằng nhau: $\widehat{A} = \widehat{C}, \widehat{B} = \widehat{D}$.
• 2 cặp góc kề bù: $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$.
• 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Tâm đối xứng: giao 2 đường chéo.

Mọi tính chất của hình bình hành + hình thang cân + bổ sung:

• 4 góc bằng nhau = $90°$.
• 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Đường chéo: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ (Pythagore với 2 cạnh).
• 2 trục đối xứng (đi qua trung điểm 2 cạnh đối).

Mọi tính chất hình bình hành + bổ sung:

• 4 cạnh bằng nhau.
• 2 đường chéo vuông góc với nhau.
• 2 đường chéo là tia phân giác các góc.
• 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• 2 trục đối xứng (chính là 2 đường chéo).

Mọi tính chất của hình chữ nhật + hình thoi:

• 4 cạnh bằng nhau.
• 4 góc = $90°$.
• 2 đường chéo bằng nhau, vuông góc, cắt nhau tại trung điểm.
• 2 đường chéo là tia phân giác các góc.
• 4 trục đối xứng (2 đường chéo + 2 đường nối trung điểm 2 cạnh đối).

Cho tam giác vuông tại $A$, biết 2 trong 3 cạnh:

• $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$ (cạnh huyền).
• $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$ (cạnh góc vuông, biết huyền + cạnh kia).
• $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$.

$$S = \dfrac{(AB + CD) \cdot h}{2},$$ với $h$ = chiều cao (khoảng cách 2 đáy). Cũng có thể viết: $S = MN \cdot h$ (đường trung bình × chiều cao).

$$S = a \cdot h,$$ với $a$ = 1 cạnh, $h$ = chiều cao tương ứng (khoảng cách từ cạnh đối diện đến cạnh $a$).

Cạnh $a, b$: $$S = a \cdot b, \quad P = 2(a + b).$$ Đường chéo: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Đường chéo $d_1, d_2$: $$S = \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2.$$ Hoặc qua cạnh + chiều cao: $S = a \cdot h$ (như hình bình hành).

Cạnh $a$: $$S = a^2, \quad P = 4 a.$$ Đường chéo: $d = a\sqrt{2}$. Diện tích qua đường chéo: $S = \dfrac{d^2}{2}$.

Bước 1. Sắp xếp 3 cạnh theo thứ tự tăng: $a \leq b \leq c$. Bước 2. So sánh $c^2$ với $a^2 + b^2$:

• $c^2 = a^2 + b^2$: tam giác vuông tại đỉnh đối $c$.
• $c^2 < a^2 + b^2$: tam giác nhọn (mọi góc đều nhỏ hơn $90°$).
• $c^2 > a^2 + b^2$: tam giác tù tại đỉnh đối $c$.

Tứ giác là hình thang cân nếu thoả 1 trong các điều kiện sau (đã là hình thang): 1. Có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau. 2. Có 2 đường chéo bằng nhau. 3. Có 2 cạnh bên bằng nhau (thường + không phải hình bình hành).

Tứ giác là hình bình hành nếu thoả 1 trong các điều kiện: 1. 2 cặp cạnh đối song song. 2. 2 cặp cạnh đối bằng nhau. 3. 1 cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. 4. 2 cặp góc đối bằng nhau. 5. 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

1. Tứ giác có 3 góc vuông (góc 4 tự suy ra). 2. Hình thang cân có 1 góc vuông. 3. Hình bình hành có 1 góc vuông. 4. Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau.

1. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. 2. Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau. 3. Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc. 4. Hình bình hành có 1 đường chéo là tia phân giác 1 góc.

1. Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau. 2. Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc. 3. Hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác 1 góc. 4. Hình thoi có 1 góc vuông. 5. Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.

Các bộ ba số nguyên thoả $a^2 + b^2 = c^2$:

• $(3, 4, 5)$ và bội: $(6, 8, 10), (9, 12, 15), \dots$
• $(5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29)$.

→ Nhận dạng nhanh trong bài tập để bỏ qua tính căn.