Xác suất có điều kiện

Biến ngẫu nhiên (BNN) $X$ là một quy tắc gán cho mỗi kết quả của phép thử ngẫu nhiên một số thực. $X$ là BNN rời rạc nếu tập giá trị của $X$ là tập hữu hạn hoặc đếm được (vd $\{0, 1, 2, \dots\}$).

Cho BNN rời rạc $X$ nhận giá trị $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ với xác suất $P(X = x_i) = p_i$. Bảng phân phối:

$X$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

Thoả: $p_i \geq 0$ và $\sum p_i = 1$.

Cho $X$ là BNN rời rạc với bảng phân phối:

$X$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

Kỳ vọng (giá trị trung bình): $$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i.$$

Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức với tham số $n \in \mathbb{N}^*$ và $p \in [0;1]$ (ký hiệu $X \sim B(n, p)$) nếu $X$ là số lần thành công trong $n$ phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công $p$. Tập giá trị: $\{0, 1, 2, \dots, n\}$.

Cho tham số tổng thể $\theta$ chưa biết. Khoảng tin cậy với mức tin cậy $1 - \alpha$ (vd 95%, $\alpha = 0.05$) là khoảng $(\theta_1; \theta_2)$ ước lượng từ mẫu sao cho: $$P(\theta_1 < \theta < \theta_2) = 1 - \alpha.$$ Ý nghĩa: lặp lại nhiều mẫu, khoảng $(\theta_1; \theta_2)$ chứa $\theta$ thực với tỉ lệ $1 - \alpha$.

Một bảng được gọi là bảng phân phối xác suất khi: 1. Các giá trị $p_i \in [0; 1]$. 2. Tổng $\sum p_i = 1$. 3. Các giá trị $x_i$ đôi một khác nhau.

Kỳ vọng:

• $E(aX + b) = aE(X) + b$.
• $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (kể cả không độc lập).

Phương sai:

• $V(aX + b) = a^2 V(X)$.
• $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ chỉ khi $X, Y$ độc lập.

$X \sim B(n, p)$:

• Mode = $\lfloor (n+1)p \rfloor$ (nếu không nguyên).
• Nếu $(n+1)p$ là số nguyên: 2 mode = $(n+1)p$ và $(n+1)p - 1$.

$$V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - [E(X)]^2.$$ Độ lệch chuẩn: $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$$ Ý nghĩa: $V, \sigma$ đo độ phân tán của $X$ quanh kỳ vọng.

$X \sim B(n, p)$:

• Kỳ vọng: $E(X) = np$.
• Phương sai: $V(X) = np(1-p)$.
• Độ lệch chuẩn: $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

$X \sim B(n, p)$: $$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n.$$ Với $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ là tổ hợp chập $k$ của $n$.

Cho mẫu $n$ phần tử với trung bình mẫu $\bar{x}$ và độ lệch chuẩn $s$. Khoảng tin cậy mức $1 - \alpha$: $$\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}; \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right).$$ Sai số $\varepsilon = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ — bán độ rộng khoảng.

Cho mẫu $n$ phần tử có $k$ phần tử thoả tính chất ($\hat{p} = k/n$). Khoảng tin cậy mức $1 - \alpha$ cho $p$: $$\left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}; \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right).$$ Giá trị $z_{\alpha/2}$ tra bảng chuẩn:

• $1 - \alpha = 90\%$: $z = 1.645$.
• $1 - \alpha = 95\%$: $z = 1.96$.
• $1 - \alpha = 99\%$: $z = 2.575$.

Bước 1. Xác định tập hợp các giá trị $X$ có thể nhận. Bước 2. Với mỗi giá trị $x_i$, dùng các quy tắc đếm + xác suất (quy tắc cộng, nhân, công thức tổ hợp) để tính $P(X = x_i)$. Bước 3. Lập bảng và kiểm tra $\sum p_i = 1$. Nếu tổng $\neq 1$ → tính sai 1 trong các $p_i$, cần kiểm tra lại.

Bước 1. Lập bảng phân phối xác suất của $X$. Bước 2. Tính $E(X) = \sum x_i p_i$. Bước 3. Tính $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$. Bước 4. Áp dụng $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. Bước 5. Tính $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (nếu cần). Lưu ý: kiểm tra $\sum p_i = 1$ để đảm bảo bảng đúng.

Bước 1. Xác định $n$ (số phép thử), $p$ (xác suất thành công). Bước 2. Áp dụng công thức nhị thức cho từng giá trị $k$: $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$. Bước 3. Tính các xác suất bao tổ hợp:

• $P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$.
• $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$.
• $P(a \leq X \leq b) = \sum_{i=a}^{b} P(X = i)$.

Bước 1. Xác định mức tin cậy $1 - \alpha$ → tra $z_{\alpha/2}$. Bước 2. Tính các thống kê mẫu: $\hat{p}$ hoặc $(\bar{x}, s)$. Bước 3. Tính sai số $\varepsilon$ theo công thức tương ứng. Bước 4. Khoảng tin cậy = $(\hat{p} - \varepsilon; \hat{p} + \varepsilon)$ hoặc $(\bar{x} - \varepsilon; \bar{x} + \varepsilon)$. Bước 5. Diễn giải: với độ tin cậy $1 - \alpha$, tham số tổng thể nằm trong khoảng.

Khi lập bảng phân phối:

• Các sự kiện $\{X = x_i\}$ phải đôi một xung khắc (không trùng nhau).
• Hợp các sự kiện $\{X = x_1\} \cup \{X = x_2\} \cup \dots$ phải là biến cố chắc chắn (bao trùm toàn bộ phép thử).

→ Đó là lý do $\sum p_i = 1$.