Vectơ trong không gian

$\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại $k \in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{u} = k\vec{v}$ (hoặc $\vec{v} = \vec{0}$).

• $k > 0$: cùng hướng.
• $k < 0$: ngược hướng.

Điều kiện trên tọa độ: $\dfrac{u_1}{v_1} = \dfrac{u_2}{v_2} = \dfrac{u_3}{v_3}$ (các tỉ số có nghĩa).

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, ký hiệu $\vec{AB}$ (gốc $A$, ngọn $B$). Trong không gian Oxyz: 1 vectơ $\vec{u}$ luôn biểu diễn được dưới dạng $\vec{u} = (a; b; c)$ tương ứng với phép phân tích $\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$ với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là vectơ đơn vị các trục Ox, Oy, Oz.

$\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$ và $\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)$ bằng nhau $\Leftrightarrow u_1 = v_1, u_2 = v_2, u_3 = v_3$.

3 vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow$ tồn tại $m, n \in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương). Điều kiện qua tích hỗn tạp: $[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} = 0$.

$\vec{i} = (1; 0; 0)$ — đơn vị trục Ox. $\vec{j} = (0; 1; 0)$ — đơn vị trục Oy. $\vec{k} = (0; 0; 1)$ — đơn vị trục Oz. Mỗi vectơ $\vec{u} = (a; b; c) = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$.

$\vec{u} = (u_1; u_2; u_3) \Rightarrow |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}.$ Đặc biệt: $|\vec{AB}| = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Cho $\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$, $\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)$, $k \in \mathbb{R}$: $$\vec{u} \pm \vec{v} = (u_1 \pm v_1; u_2 \pm v_2; u_3 \pm v_3),$$ $$k\vec{u} = (ku_1; ku_2; ku_3).$$

Cho $\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$, $\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)$: $$[\vec{u}, \vec{v}] = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}; -\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right).$$ Tức $[\vec{u}, \vec{v}] = (u_2 v_3 - u_3 v_2; \, u_3 v_1 - u_1 v_3; \, u_1 v_2 - u_2 v_1)$.

Cho tam giác $ABC$ với $A, B, C$ trong không gian: $$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} |[\vec{AB}, \vec{AC}]|.$$ Diện tích hình bình hành tương ứng: $S_{ABDC} = |[\vec{AB}, \vec{AC}]|$.

Cho $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$: tích hỗn tạp $[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c}$. Ứng dụng:

• $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} = 0$.
• Thể tích khối hộp dựng trên $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$: $V_{hop} = |[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c}|$.
• Thể tích tứ diện $ABCD$: $V = \dfrac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD}|$.

Cho $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$: $$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A).$$ Quy tắc: tọa độ vectơ = tọa độ ngọn − tọa độ gốc.

$$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}.$$ Góc giữa 2 vectơ $\in [0; 180°]$.

Cho $\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$, $\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$$ với $\theta = (\vec{u}, \vec{v})$.

Cho 3 đỉnh $A, B, C$, tìm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành: Bước 1. Áp dụng tính chất hình bình hành: $\vec{AB} = \vec{DC}$ (hoặc $\vec{AD} = \vec{BC}$). Bước 2. Giả sử $D(x; y; z)$. Bước 3. Từ $\vec{AD} = \vec{BC}$: $$\begin{cases} x - x_A = x_C - x_B \\ y - y_A = y_C - y_B \\ z - z_A = z_C - z_B \end{cases}.$$ Bước 4. Giải hệ tìm $x, y, z$.

Vuông góc với 1 vectơ $\vec{a}$:

• Giả sử $\vec{u} = (x; y; z)$, lập $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$.
• Phương trình có vô số nghiệm — chọn tự do 2 biến.

Vuông góc với 2 vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ (không cùng phương):

• Tích có hướng: $\vec{u} = [\vec{a}, \vec{b}]$ là vectơ cần tìm (cùng với mọi $k\vec{u}$).

Khi cần pháp tuyến mặt phẳng chứa 2 vectơ song song với nó (vd 2 cạnh tam giác đáy hoặc 2 vectơ chỉ phương): → Dùng tích có hướng $\vec{n} = [\vec{u_1}, \vec{u_2}]$ ngay. Tránh: hệ phương trình tìm pháp tuyến $\vec{n} \cdot \vec{u_1} = 0$ và $\vec{n} \cdot \vec{u_2} = 0$ — dài + dễ sai.

Cho điểm $M(x_0; y_0; z_0)$:

• Hình chiếu trên Ox: $M'(x_0; 0; 0)$.
• Hình chiếu trên Oy: $M'(0; y_0; 0)$.
• Hình chiếu trên Oz: $M'(0; 0; z_0)$.
• Hình chiếu trên $(Oxy)$: $M'(x_0; y_0; 0)$.
• Hình chiếu trên $(Oyz)$: $M'(0; y_0; z_0)$.
• Đối xứng qua $(Oxy)$: $M'(x_0; y_0; -z_0)$.
• Đối xứng qua trục Ox: $M'(x_0; -y_0; -z_0)$.
• Đối xứng qua gốc O: $M'(-x_0; -y_0; -z_0)$.