Phương pháp toạ độ trong không gian

Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ nếu $\vec{n}$ vuông góc với $(P)$. Hai mặt phẳng song song có vectơ pháp tuyến cùng phương. Nếu $(P)$ có pháp tuyến $\vec{n}$ thì mọi vectơ $k\vec{n}$ ($k \neq 0$) cũng là pháp tuyến của $(P)$.

Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $d$. 2 đường thẳng song song có vectơ chỉ phương cùng phương. Nếu $\vec{u}$ là chỉ phương thì mọi $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) cũng là chỉ phương.

Mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ ($R > 0$) là tập hợp các điểm $M$ trong không gian sao cho $IM = R$.

Cho khối chóp $S.ABC...$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC...)$. Khi đó:

• Đường cao của khối chóp chính là $SA$: $h = SA$.
• $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot SA$.

Cho khối chóp $O.ABC$ với $OA \perp (ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = b$, $AC = c$, $OA = h$. Khi đó: $$V_{O.ABC} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot h = \dfrac{bch}{6}.$$

Cho $(P): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$, $(Q): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$. Đặt $\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)$, $\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)$:

• $(P) \parallel (Q)$: $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ cùng phương và $D_1 / D_2 \neq A_1 / A_2$.
• $(P) \equiv (Q)$: $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ cùng phương và tỉ lệ tương ứng với $D_1, D_2$.
• $(P) \perp (Q)$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ (tức $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$).
• Trường hợp khác: 2 mặt phẳng cắt nhau theo 1 đường thẳng.

Cho $d_1$ qua $M_1$ chỉ phương $\vec{u_1}$ và $d_2$ qua $M_2$ chỉ phương $\vec{u_2}$. Xét $[\vec{u_1}, \vec{u_2}]$ và $\vec{M_1 M_2}$:

• $\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}$ và $\vec{M_1 M_2} \not\parallel \vec{u_1}$: song song.
• $\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}$ và $M_1 \in d_2$: trùng nhau.
• $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq \vec{0}$ và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2} = 0$: cắt nhau.
• $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2} \neq 0$: chéo nhau.

Cho $d$ qua $M_0$ chỉ phương $\vec{u}$, $(P)$ pháp tuyến $\vec{n}$:

• $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$: $d$ cắt $(P)$ tại 1 điểm.
• $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ và $M_0 \notin (P)$: $d$ song song $(P)$.
• $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ và $M_0 \in (P)$: $d$ nằm trong $(P)$.
• Đặc biệt: $\vec{u} \parallel \vec{n}$ → $d \perp (P)$.

Cho $d_1, d_2$ với chỉ phương $\vec{u_1}, \vec{u_2}$, $M_1 \in d_1$, $M_2 \in d_2$:

• $\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}$ và $M_1 \in d_2$: trùng.
• $\vec{u_1} \parallel \vec{u_2}$ và $M_1 \notin d_2$: song song.
• $\vec{u_1} \not\parallel \vec{u_2}$ và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2} = 0$: cắt nhau.
• $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2} \neq 0$: chéo nhau.

Cho $(P_1): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$, $(P_2): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$:

• $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ KHÔNG cùng phương: cắt nhau theo 1 đường thẳng.
• $\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}$ và $(P_1) \neq (P_2)$: song song.
• $\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}$ và 2 phương trình tỉ lệ hoàn toàn (kể cả $D$): trùng nhau.
• $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$: 2 mặt phẳng vuông góc.

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$. Đặt $d = d(I, (P))$:

• $d > R$: $(P)$ và $(S)$ không cắt nhau.
• $d = R$: $(P)$ tiếp xúc $(S)$ tại điểm hình chiếu của $I$ trên $(P)$.
• $d < R$: $(P)$ cắt $(S)$ theo đường tròn giao tuyến bán kính $r = \sqrt{R^2 - d^2}$, tâm là hình chiếu của $I$ trên $(P)$.

Cho tứ diện $ABCD$. Trọng tâm $G$: $$G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}; \dfrac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}; \dfrac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}\right).$$

Cho tam giác $ABC$ với $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$, $C(x_C; y_C; z_C)$. Trọng tâm $G$: $$G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}; \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3}\right).$$

Cho 2 điểm $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$. Khoảng cách: $$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.$$

Cho $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$. Trung điểm $M$ của $AB$: $$M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}; \dfrac{y_A + y_B}{2}; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right).$$

Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ tới mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(M_0, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ với $A^2 + B^2 + C^2 > 0$ có phương trình: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$\Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0 \quad (D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0).$$

Khi $a, b, c$ đều khác 0: $$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}.$$ Nếu một thành phần bằng 0 (vd $a = 0$): viết riêng $x = x_0$ và $\dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$.

Đường thẳng $d$ qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ với chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$: $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.$$

Cho $(P_1), (P_2)$ có pháp tuyến $\vec{n_1}, \vec{n_2}$. Góc $\alpha \in [0; 90°]$: $$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}.$$

Cho đường thẳng $d$ chỉ phương $\vec{u}$, mặt phẳng $(P)$ pháp tuyến $\vec{n}$. Góc $\alpha \in [0; 90°]$: $$\sin\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}.$$

Cho 2 đường $d_1, d_2$ chỉ phương $\vec{u_1}, \vec{u_2}$. Góc $\alpha \in [0; 90°]$: $$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}.$$

Cho điểm $M_0$ và đường thẳng $d$ qua $M_1$ có chỉ phương $\vec{u}$: $$d(M_0, d) = \dfrac{|[\vec{M_1 M_0}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}.$$

$d(M_0, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ với $M_0(x_0;y_0;z_0)$, $(P): Ax + By + Cz + D = 0$.

Cho $d_1$ qua $M_1$ chỉ phương $\vec{u_1}$, $d_2$ qua $M_2$ chỉ phương $\vec{u_2}$ (chéo nhau): $$d(d_1, d_2) = \dfrac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1 M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|}.$$

$$x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$$ là phương trình mặt cầu $\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Khi đó:

• Tâm: $I(-a; -b; -c)$.
• Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

Mặt cầu $(S)$ tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ có phương trình: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2.$$

Thể tích khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ (khoảng cách từ đỉnh tới mặt phẳng đáy): $$V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h.$$

Cho 3 điểm $A, B, C$ không thẳng hàng. Mặt phẳng $(ABC)$: Bước 1. Tính $\vec{AB}, \vec{AC}$. Bước 2. Tính vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]$ (tích có hướng). Bước 3. Viết phương trình mặt phẳng qua $A$ với pháp tuyến $\vec{n}$: $$n_1(x - x_A) + n_2(y - y_A) + n_3(z - z_A) = 0.$$

Cho 2 điểm phân biệt $A, B$: Bước 1. Tính vectơ chỉ phương $\vec{u} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$. Bước 2. Viết phương trình tham số qua $A$ với chỉ phương $\vec{u}$: $$\begin{cases} x = x_A + (x_B - x_A) t \\ y = y_A + (y_B - y_A) t \\ z = z_A + (z_B - z_A) t \end{cases}.$$

Bước 1. Xác định các vectơ chỉ phương / pháp tuyến của các đối tượng. Bước 2. Kiểm tra điều kiện cùng phương (cross product = $\vec{0}$). Bước 3. Nếu cùng phương → kiểm tra trùng/song song bằng cách thay 1 điểm. Bước 4. Nếu không cùng phương → tính tích hỗn tạp để phân biệt cắt/chéo (cho 2 đường) hoặc tính tích vô hướng để xét vuông góc.

Cho 4 điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng: Bước 1. Giả sử $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$. Bước 2. Thay tọa độ 4 điểm vào phương trình, thu được hệ 4 phương trình tuyến tính với 4 ẩn $a, b, c, d$. Bước 3. Giải hệ tìm $a, b, c, d$. Bước 4. Viết phương trình $(S)$ và xác định tâm $I(-a;-b;-c)$, bán kính $R$.

Cho 4 điểm $A_1, A_2, A_3, A_4$ và 4 khoảng cách $d_1, d_2, d_3, d_4$. Tìm điểm $M(x; y; z)$ thoả $|MA_i| = d_i$ với mọi $i$. Bước 1. Viết 4 phương trình mặt cầu: $|M A_i|^2 = d_i^2$. Bước 2. Trừ vế mỗi phương trình $i \geq 2$ cho phương trình 1: khử các bình phương → 3 phương trình tuyến tính theo $x, y, z$. Bước 3. Giải hệ tuyến tính 3 ẩn → tìm $M$. Bước 4. Kiểm tra $M$ thoả phương trình mặt cầu 1. → Mô phỏng cách GPS định vị thiết bị từ 4 vệ tinh.

Cho đường thẳng $\Delta$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$: Bước 1. Tính $d = d(I, \Delta)$ (khoảng cách từ tâm đến đường). Bước 2. So sánh $d$ và $R$:

• $d > R$: $\Delta$ ngoài mặt cầu, khoảng cách min điểm-mặt = $d - R$.
• $d = R$: $\Delta$ tiếp xúc.
• $d < R$: $\Delta$ cắt mặt cầu (2 giao điểm).

Ứng dụng: drone bay theo đường thẳng tránh chướng ngại vật hình cầu, khoảng cách an toàn = $d - R$.

Bước 1 — Xác định chiều cao: khoảng cách từ đỉnh tới mặt phẳng đáy.

• Nếu có cạnh bên vuông góc với đáy → cạnh đó chính là chiều cao.
• Nếu mặt bên vuông góc với đáy → chiều cao là đường cao trong mặt bên đó.
• Trường hợp tổng quát → kẻ đường vuông góc từ đỉnh xuống đáy.

Bước 2 — Tính diện tích đáy $S_{\text{đáy}}$ theo các công thức diện tích đa giác đã học. Bước 3 — Áp dụng: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h$.

Bài toán tìm $M$ trên đường thẳng / mặt phẳng để tổng/hiệu khoảng cách đạt min/max:

• $\min(MA + MB)$ với $A, B$ cùng phía: dùng phép đối xứng $B$ qua đường/mặt → $\min(MA + MB) = AB'$.
• $\max(|MA - MB|)$ với $A, B$ cùng phía: thẳng hàng $A, M, B$ → $\max |MA - MB| = AB$.
• $\min MA^2 + MB^2$: $M$ là trung điểm $AB$, $\min = AB^2/2$.

Góc giữa 2 đường thẳng / 2 mặt phẳng / đường + mặt luôn ở $[0; 90°]$ (góc nhọn hoặc vuông), nên công thức luôn dùng giá trị tuyệt đối ở tử số:

• Đảm bảo $\cos\alpha \geq 0$ (hoặc $\sin\alpha \geq 0$).
• Tránh thu được góc tù từ tích vô hướng âm.

Cho phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$: Cách 1: kiểm tra $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ → là mặt cầu. Cách 2: hoàn thiện bình phương: $$(x+a)^2 + (y+b)^2 + (z+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d.$$ Vế phải $> 0$ → là mặt cầu với tâm $(-a;-b;-c)$, bán kính $\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

Hiệu của 2 phương trình mặt cầu $(S_1) - (S_2)$ khử các bình phương $x^2 + y^2 + z^2$, còn lại phương trình bậc 1 (mặt phẳng). → Mặt phẳng này = mặt phẳng đẳng phương của 2 mặt cầu, chứa giao tuyến (đường tròn / điểm tiếp xúc) nếu 2 mặt cầu cắt nhau. Trong bài định vị / multilateration, đây là kỹ thuật chính để biến hệ phương trình bậc 2 thành hệ tuyến tính.

Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ VUÔNG GÓC với mặt phẳng (định hướng mặt phẳng). Vectơ chỉ phương $\vec{u}$ NẰM TRONG mặt phẳng (song song với mặt phẳng). Khi viết phương trình mặt phẳng, dùng pháp tuyến chứ KHÔNG dùng chỉ phương. Tip: nếu bài cho 2 vectơ $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ song song với mặt phẳng (không cùng phương), tính pháp tuyến qua tích có hướng $\vec{n} = [\vec{u_1}, \vec{u_2}]$.