Số phức

Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $\overline{z} = a - bi$. Tính chất:

• $\overline{\overline{z}} = z$.
• $z + \overline{z} = 2a$ (thực).
• $z - \overline{z} = 2bi$ (thuần ảo).
• $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.

Số phức $z$ là biểu thức $z = a + bi$ với $a, b \in \mathbb{R}$ và $i$ là đơn vị ảo thoả $i^2 = -1$.

• $a = \Re(z)$: phần thực của $z$.
• $b = \Im(z)$: phần ảo của $z$.

Tập hợp số phức: $\mathbb{C}$. $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ($z = a + 0i$ là số thực).

$z_1 = a_1 + b_1 i = z_2 = a_2 + b_2 i \Leftrightarrow a_1 = a_2$ và $b_1 = b_2$.

Số phức $z = a + bi$ tương ứng với điểm $M(a; b)$ trong mặt phẳng $Oxy$ (gọi là mặt phẳng phức với Ox = trục thực, Oy = trục ảo). Vectơ $\vec{OM}$ cũng đại diện cho $z$.

Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0$). Đặt $\Delta = b^2 - 4ac$:

• $\Delta > 0$: 2 nghiệm thực phân biệt $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• $\Delta = 0$: nghiệm kép thực $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• $\Delta < 0$: 2 nghiệm phức liên hợp $x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Cho $ax^2 + bx + c = 0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ (trong $\mathbb{C}$):

• $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$.
• $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Khi $a, b, c \in \mathbb{R}$ và $\Delta < 0$: $x_1, x_2$ là cặp liên hợp, nên $x_1 x_2 = |x_1|^2$ và $x_1 + x_2 = 2 \Re(x_1)$.

Cho $z_1 = a_1 + b_1 i$, $z_2 = a_2 + b_2 i$: $$z_1 \pm z_2 = (a_1 \pm a_2) + (b_1 \pm b_2) i.$$

$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \dfrac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2}.$ Quy ước: $z_2 \neq 0$. Quy trình: nhân tử số và mẫu với liên hợp của mẫu để mẫu thành số thực.

$z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) i.$ Nhớ: dùng $i^2 = -1$ khi khai triển.

Cho $z_0 = a + bi$ cố định, $R > 0$. Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả $|z - z_0| = R$ là đường tròn tâm $I(a; b)$, bán kính $R$.

Cho $z_1, z_2$ phân biệt (biểu diễn bởi $A, B$). Tập hợp $M$ thoả $|z - z_1| = |z - z_2|$ là đường trung trực của đoạn $AB$.

Số phức $z = a + bi$ có modulus: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$ Ý nghĩa hình học: $|z|$ là khoảng cách từ điểm $M(a;b)$ biểu diễn $z$ đến gốc tọa độ $O$.

Với $a > 0$: $\sqrt{-a} = \pm i\sqrt{a}$ (2 nghiệm). Quy ước trong giải phương trình bậc 2: dùng $i\sqrt{a}$ và lấy $\pm$ trong công thức.

Bước 1. Nếu biểu thức chứa phép chia: nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu. Bước 2. Khai triển + áp dụng $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, \dots$ Bước 3. Gom phần thực và phần ảo: $a = $ tổng các số không có $i$, $b = $ tổng các hệ số đi kèm $i$. Bước 4. Kết quả: $z = a + bi$.

Bước 1. Đặt $z = x + yi$ với $x, y \in \mathbb{R}$. Bước 2. Thay vào điều kiện cho trước, tính các modulus / phép toán cần thiết. Bước 3. Biến đổi về phương trình quan hệ giữa $x, y$. Bước 4. Nhận dạng: phương trình bậc 1 → đường thẳng; bậc 2 đầy đủ $x^2 + y^2 + \dots$ → đường tròn. Bước 5. Kết luận tập hợp $M(x; y)$ thoả điều kiện.

Bước 1. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$. Bước 2. Nếu $\Delta \geq 0$: dùng công thức nghiệm thực thông thường. Bước 3. Nếu $\Delta < 0$: viết $\Delta = -(-\Delta)$, lấy căn bậc 2 phức: $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{-\Delta}$. Bước 4. Áp dụng công thức: $x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Bước 5. Viết 2 nghiệm dưới dạng $a + bi$ (rút gọn).

$i^{4k} = 1, \, i^{4k+1} = i, \, i^{4k+2} = -1, \, i^{4k+3} = -i$. → Khi tính $i^n$: chia $n$ cho 4, dư bao nhiêu thì dùng giá trị tương ứng. Ví dụ: $i^{2027} = i^{4 \cdot 506 + 3} = -i$.

Khi cần khử $i$ ở mẫu hoặc tính bình phương modulus: $$z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2.$$ → Đặc biệt hữu ích khi tính chia $z_1/z_2$ và khi giải phương trình.

Khi giải phương trình modulus có $\sqrt{\dots}$ ở 2 vế (modulus là căn bậc 2 của bình phương), bình phương 2 vế để khử căn — nhanh và sạch: $|z - z_0|^2 = (z - z_0) \cdot \overline{(z - z_0)}.$ Hoặc nếu $z = x + yi$: $|z - z_0|^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2$.

Khi cần $x_1^2 + x_2^2$, $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$, $|x_1| + |x_2|$, ...: Đặt $S = x_1 + x_2 = -b/a$, $P = x_1 x_2 = c/a$ → suy ra:

• $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$.
• $x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3SP$.
• $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{S}{P}$ (nếu $P \neq 0$).
• $|x_1|^2 + |x_2|^2 = S^2 - 2P$ (khi nghiệm thực) hoặc $|x_1|^2 + |x_2|^2 = 2P$ (khi 2 nghiệm phức liên hợp).