Nguyên hàm. Tích phân

Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F$ được gọi là nguyên hàm của $f$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$. Họ nguyên hàm: nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ thì mọi nguyên hàm của $f$ có dạng $F(x) + C$, với $C$ là hằng số.

Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F$ là một nguyên hàm của $f$. Khi đó tích phân xác định của $f$ từ $a$ đến $b$ là: $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = F(x) \Big|_a^b.$$

Nếu $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $[a;b]$ thì: $$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).$$

Cho $u(x), v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a;b]$: $$\int_a^b u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x) v(x) \Big|_a^b - \int_a^b v(x) \cdot u'(x) \, dx.$$ Hay viết gọn: $\int u\, dv = uv - \int v\, du$.

Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $u = \varphi(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a;b]$ với $\varphi(a) = \alpha, \varphi(b) = \beta$. Khi đó: $$\int_a^b f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(u) \, du.$$

Với $k$ là hằng số khác $0$:

• $\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$
• $\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx$

Cho $f, g$ liên tục trên $[a;b]$, $k$ là hằng số:

• $\int_a^a f(x)\, dx = 0$.
• $\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx$.
• $\int_a^b k\cdot f(x)\, dx = k \int_a^b f(x)\, dx$.
• $\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\, dx = \int_a^b f(x)\, dx \pm \int_a^b g(x)\, dx$.
• $\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx$ với $c \in [a;b]$ (Chasles).

• $f$ chẵn ($f(-x) = f(x)$): $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$.
• $f$ lẻ ($f(-x) = -f(x)$): $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$.

→ Nhận diện sớm tính chẵn / lẻ → tiết kiệm 1/2 công sức tính, hoặc kết luận = 0 ngay.

$$\int_a^b x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \Big|_a^b = \dfrac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} \quad (n \neq -1).$$ $$\int_a^b \dfrac{1}{x}\, dx = \ln|x| \Big|_a^b = \ln\dfrac{|b|}{|a|}.$$ $$\int_a^b e^x\, dx = e^b - e^a, \quad \int_a^b \sin x\, dx = \cos a - \cos b, \quad \int_a^b \cos x\, dx = \sin b - \sin a.$$

Tích phân $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$: đặt $x = a \sin t, t \in [0; \pi/2]$. $dx = a \cos t \, dt$, $\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t$. $$\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 t \, dt = \dfrac{\pi a^2}{4}.$$ Ý nghĩa hình học: bằng diện tích $1/4$ hình tròn bán kính $a$. → Nhận diện hình tròn → trả lời ngay không cần tính tích phân.

Cho 2 hàm số $y = f(x), y = g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị + 2 đường $x = a, x = b$ là: $$S = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx.$$

Cho parabol $y = x^2$ và tiếp tuyến tại $x = t$ (với $t > 0$). Diện tích miền giữa parabol, tiếp tuyến và trục $Ox$ = $\dfrac{t^3}{12}$. Lưu ý: phải tách 2 đoạn tích phân ở giao điểm tiếp tuyến với $Ox$ (tại $x = t/2$): $S = \int_0^{t/2} x^2 dx + \int_{t/2}^{t} (x^2 - \text{tiếp tuyến}) dx$.

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục $Ox$ và 2 đường $x = a$, $x = b$ là: $$S = \int_a^b |f(x)| \, dx.$$ Nếu $f(x) \geq 0$ trên $[a;b]$: $S = \int_a^b f(x)\, dx$. Nếu $f(x) \leq 0$ trên $[a;b]$: $S = -\int_a^b f(x)\, dx$.

Cho 2 hàm $y = f(x), y = g(x)$ liên tục trên $[a;b]$ với $f(x) \geq g(x) \geq 0$. Khối tròn xoay sinh bởi miền giới hạn giữa 2 đồ thị quay quanh $Ox$: $$V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) dx.$$

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, $f(x) \geq 0$ trên $[a;b]$. Khối tròn xoay sinh bởi hình thang cong $f(x), x \in [a;b]$ quay quanh $Ox$: $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx.$$

Để tính $\int f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \, dx$: Bước 1. Đặt $u = \varphi(x) \Rightarrow du = \varphi'(x) dx$. Bước 2. Biến đổi tích phân thành $\int f(u) \, du$. Bước 3. Tính nguyên hàm theo $u$, thay $u = \varphi(x)$ về biến gốc. Ví dụ: $\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$, đặt $u = x^2$, $du = 2x\, dx \Rightarrow$ tích phân $= \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C$.

Bước 1. Xác định nguyên hàm $F(x)$ bằng bảng nguyên hàm cơ bản. Bước 2. Áp dụng Newton-Leibniz: $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$. Bước 3. Tính giá trị $F(b)$, $F(a)$ và trừ. Lưu ý: Nếu hàm có nhiều thành phần đa thức, tách theo tổng/hiệu rồi tính từng phần.

Bước 1. Chọn $u$ và $dv$ theo thứ tự ưu tiên LIATE:

• L: Logarit ($\ln, \log$)
• I: Inverse trig ($\arcsin, \arctan$)
• A: Algebraic (đa thức $x^n$)
• T: Trigonometric ($\sin, \cos$)
• E: Exponential ($e^x, a^x$)

Chọn $u$ là hàm xếp trước trong LIATE, $dv$ là phần còn lại. Bước 2. Tính $du = u'\, dx$ và $v = \int dv$. Bước 3. Áp dụng công thức: $\int u\, dv = uv - \int v\, du$.

Tích phân $I = \int e^x \sin x \, dx$ giải bằng từng phần 2 lần: Bước 1. Lần 1: $u = \sin x, dv = e^x dx$ → $I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$. Bước 2. Lần 2 (tích phân thứ 2): $u = \cos x, dv = e^x dx$ → $\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x + I$. Bước 3. Thay lại: $I = e^x \sin x - e^x \cos x - I \Rightarrow 2I = e^x(\sin x - \cos x)$. Kết quả: $\int e^x \sin x \, dx = \dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$. Tương tự: $\int e^x \cos x dx = \dfrac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$.

Bước 1. Quan sát tích phân, chọn $u = \varphi(x)$ sao cho $\varphi'(x)$ xuất hiện (hoặc tỉ lệ với) trong biểu thức. Bước 2. Tính $du = \varphi'(x)\, dx$. Bước 3. Đổi cận: $x = a \to u = \varphi(a)$, $x = b \to u = \varphi(b)$. Bước 4. Thay biến, tính tích phân theo $u$: $$\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\, du.$$

Cho 2 đường cong $f, g$ tạo 2 miền $S_1, S_2$ liên tiếp. Điều kiện $S_1 = S_2$: $$\int_{x_0}^{x_2} (f(x) - g(x)) dx = 0,$$ (với cùng dấu đại số) — tích phân định hướng = 0. Vd: parabol $y = x^2 + a$ và đường thẳng $y = kx$, $S_1 = S_2$ $\Leftrightarrow \int_0^{x_2} (kx - x^2 - a) dx = 0 \Leftrightarrow x_2 = \dfrac{3k}{4}, a = \dfrac{3k^2}{16}$.

Bước 1. Vẽ phác đồ thị các đường liên quan để hình dung hình. Bước 2. Tìm giao điểm (nếu cần) bằng cách giải $f(x) = g(x)$ (hoặc $f(x) = 0$ với trục Ox). Bước 3. Xét dấu $f(x) - g(x)$ trên từng đoạn để bỏ giá trị tuyệt đối:

• Nếu $f \geq g$ trên $[a;c]$: $\int_a^c (f - g)\, dx$.
• Nếu $g \geq f$ trên $[c;b]$: $\int_c^b (g - f)\, dx$.

Bước 4. Cộng các tích phân thành phần.

Bước 1. Xác định miền phẳng + trục quay (Ox hoặc Oy). Bước 2. Tìm cận tích phân (giao điểm đồ thị với trục hoặc các đường biên). Bước 3. Áp dụng công thức:

• Quay quanh Ox, 1 đường: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
• Quay quanh Ox, 2 đường: $V = \pi \int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$.

Bước 4. Tính tích phân thu được.

Một số tích phân có thể tính nhanh qua diện tích hình quen thuộc:

• $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx = \pi a^2 / 4$ ($1/4$ hình tròn).
• $\int_0^h x dx = h^2/2$ (tam giác đáy $h$ cao $h$).
• $\int_0^h k dx = kh$ (hình chữ nhật).

Trước khi tính, vẽ phác miền — nếu là hình tròn/quạt/tam giác → công thức hình học nhanh hơn.

Khi 2 đường cong cắt nhau giữa $[a; b]$ tại $c$:

• KHÔNG được dùng $\int_a^b (f - g)$ — kết quả có thể = 0 do hai phần trừ nhau.
• Phải tách: $S = \int_a^c |f - g| + \int_c^b |f - g|$.
• Tương đương: xét dấu $f - g$ trên từng đoạn, đưa về tích phân $f - g$ hoặc $g - f$ tương ứng.

Bài thi hay đánh lừa: nếu đề cho 1 tích phân duy nhất → kiểm tra xem có giao trong đoạn không.