Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$.

• $f$ đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
• $f$ nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K$, $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_0 \in K$.

• $x_0$ là điểm cực đại của $f$ nếu tồn tại lân cận của $x_0$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x$ thuộc lân cận, $x \neq x_0$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại (CĐ).
• $x_0$ là điểm cực tiểu nếu tồn tại lân cận của $x_0$ sao cho $f(x) > f(x_0)$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực tiểu (CT).

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$.

• $M = \max_{D} f(x) \Leftrightarrow$ $f(x) \leq M, \forall x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ với $f(x_0) = M$.
• $m = \min_{D} f(x) \Leftrightarrow$ $f(x) \geq m, \forall x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ với $f(x_0) = m$.

Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thoả ít nhất một trong các giới hạn: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0.$$

Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thoả ít nhất một trong các giới hạn: $$\lim_{x \to x_0^{-}} f(x) = \pm\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^{+}} f(x) = \pm\infty.$$

Cho hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng $K$:

• $f'(x) > 0, \forall x \in K \Rightarrow f$ đồng biến trên $K$.
• $f'(x) < 0, \forall x \in K \Rightarrow f$ nghịch biến trên $K$.
• $f'(x) = 0, \forall x \in K \Rightarrow f$ là hằng số trên $K$.

Nếu hàm số $f$ đạt cực trị tại $x_0$ và $f$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f'(x_0) = 0$.

Cho hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ và có đạo hàm trên lân cận trừ $x_0$. Khi đi qua $x_0$:

• $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ $x_0$ là điểm cực đại.
• $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ $x_0$ là điểm cực tiểu.
• $f'(x)$ không đổi dấu $\Rightarrow$ $x_0$ KHÔNG phải cực trị.

Giả sử $f$ có đạo hàm cấp hai trong lân cận $x_0$, $f'(x_0) = 0$. Khi đó:

• $f''(x_0) < 0 \Rightarrow x_0$ là điểm cực đại.
• $f''(x_0) > 0 \Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu.
• $f''(x_0) = 0$: chưa kết luận được, phải dùng Quy tắc 1.

Hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Cho hàm số $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ với $ad - bc \neq 0$, $c \neq 0$. Khi đó đồ thị có:

• Tiệm cận đứng: $x = -\dfrac{d}{c}$
• Tiệm cận ngang: $y = \dfrac{a}{c}$

Với $a \neq 0$, $y' = 3ax^2 + 2bx + c$, $\Delta' = b^2 - 3ac$:

• $\Delta' \leq 0$ và $a > 0 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• $\Delta' \leq 0$ và $a < 0 \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
• $\Delta' > 0$: hàm số có 2 cực trị → thay đổi tính đơn điệu qua các điểm cực trị.

Với $a \neq 0$, $\Delta' = b^2 - 3ac$:

• $\Delta' \leq 0$: đồ thị có dạng đơn điệu (không cực trị). $a > 0$ → đồng biến; $a < 0$ → nghịch biến.
• $\Delta' > 0$: đồ thị có 2 cực trị (1 CĐ + 1 CT).

Tâm đối xứng: điểm uốn $I\left(-\dfrac{b}{3a}; f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$.

Với $a \neq 0$:

• $ab \geq 0$: đồ thị có 1 cực trị (đỉnh tại $x = 0$). $a > 0$ → CT tại $x=0$; $a < 0$ → CĐ tại $x=0$.
• $ab < 0$: đồ thị có 3 cực trị (1 ở giữa + 2 đối xứng qua Oy).

Trục đối xứng: $Oy$.

Với $ad - bc \neq 0$, $c \neq 0$:

• TCĐ: $x = -\dfrac{d}{c}$; TCN: $y = \dfrac{a}{c}$.
• Hàm số đồng biến (resp. nghịch biến) trên mỗi khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{d}{c}\right)$ và $\left(-\dfrac{d}{c}; +\infty\right)$ nếu $ad - bc > 0$ (resp. $< 0$).

Tâm đối xứng: giao điểm 2 tiệm cận $I\left(-\dfrac{d}{c}; \dfrac{a}{c}\right)$.

Khi nhìn đồ thị $y = f(x)$:

• Khoảng đi lên (đồ thị từ trái sang phải tăng cao): $f'(x) > 0$.
• Khoảng đi xuống (giảm thấp): $f'(x) < 0$.
• Điểm đỉnh (cực đại / cực tiểu): $f'(x) = 0$.
• Điểm uốn (đổi tính lồi/lõm): $f''(x) = 0$ (không nhất thiết $f'(x) = 0$).

Cho đồ thị $(\mathcal{C}): y = f(x)$.

• $y = f(x) + a$: tịnh tiến $(\mathcal{C})$ lên trên $a$ đơn vị (nếu $a > 0$).
• $y = f(x - h)$: tịnh tiến $(\mathcal{C})$ sang phải $h$ đơn vị.
• $y = -f(x)$: đối xứng $(\mathcal{C})$ qua trục $Ox$.
• $y = f(-x)$: đối xứng qua trục $Oy$.
• $y = |f(x)|$: giữ phần $\geq 0$, lật phần $< 0$ qua $Ox$.
• $y = f(|x|)$: giữ phần $x \geq 0$, lấy đối xứng qua $Oy$ làm phần $x < 0$.

Với $x > 0$ và $k > 0$: $$x + \dfrac{k}{x} \geq 2 \sqrt{k},$$ dấu $=$ khi $x = \sqrt{k}$. → GTNN $= 2\sqrt{k}$. Lưu ý: dấu $=$ chỉ áp dụng nếu $\sqrt{k}$ thuộc miền xác định (vd nếu yêu cầu $x \in [a; b]$, kiểm tra $\sqrt{k} \in [a; b]$, nếu không → so sánh tại biên).

Cửa sổ gồm hình chữ nhật rộng $x$, cao $h$ + nửa hình tròn đường kính $x$ bên trên. Chu vi cố định $P$: $$P = 2h + x + \dfrac{\pi x}{2}.$$ Diện tích $S = xh + \dfrac{\pi x^2}{8}$. Khi $S$ max (chu vi cho trước): $$x^ = \dfrac{2 P}{4 + \pi}, \quad h^ = \dfrac{x^*}{2}.$$ Tức chiều cao = nửa chiều ngang (bán kính nửa tròn = chiều cao hình chữ nhật).

Cắt 4 góc tấm vuông cạnh $a$ thành 4 hình vuông cạnh $x$, gấp lên → hộp: $$V(x) = x(a - 2x)^2, \quad 0 < x < a/2.$$ $V'(x) = (a-2x)(a-6x) \Rightarrow x = \dfrac{a}{6}$ (loại $x = a/2$). Kết quả:

• Chiều cao tối ưu: $x^* = a/6$.
• GTLN của $V$: $V_{\max} = \dfrac{a}{6} \cdot \left(\dfrac{2a}{3}\right)^2 = \dfrac{2 a^3}{27}$.

Hộp đáy vuông cạnh $x$, cao $h$, không nắp. Thể tích $V = x^2 h$ cố định → $h = V/x^2$. Chi phí: đáy chi phí $c_d$/đv², thành bên $c_t$/đv²: $$C(x) = c_d x^2 + 4 c_t x h = c_d x^2 + \dfrac{4 c_t V}{x}.$$ $C'(x) = 0 \Rightarrow x^* = \sqrt[3]{\dfrac{2 c_t V}{c_d}}$. Tổng quát: đáy cố định + thành cộng chi phí → cạnh tối ưu theo căn bậc 3 của tỉ lệ chi phí.

Cho hàm số $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $\deg P = m$, $\deg Q = n$, hệ số bậc cao nhất $a_m, b_n$. Khi đó:

• $m < n$: TCN $y = 0$.
• $m = n$: TCN $y = \dfrac{a_m}{b_n}$.
• $m > n$: KHÔNG có TCN (đồ thị có tiệm cận xiên hoặc đi ra vô cực).

Bước 1. Tìm tập xác định $D$. Bước 2. Tính $f'(x)$, tìm các điểm $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định. Bước 3. Lập bảng xét dấu $f'(x)$ trên $D$. Bước 4. Kết luận:

• Khoảng $f'(x) > 0$: hàm số đồng biến.
• Khoảng $f'(x) < 0$: hàm số nghịch biến.

Cho hàm hợp $h(x) = f(g(x))$. $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. $h'(x) = 0 \Leftrightarrow g'(x) = 0$ hoặc $f'(g(x)) = 0$. Bước 1. Tìm điểm cực trị của $g$ (giải $g'(x) = 0$) → $k$ giá trị. Bước 2. Giải $f'(g(x)) = 0$: tìm các giá trị $g(x) = c_i$ (với $c_i$ là điểm tới hạn của $f$). Bước 3. Mỗi phương trình $g(x) = c_i$ có thể có nhiều nghiệm (tùy hình dạng $g$). Bước 4. Loại nghiệm trùng nhau / không đổi dấu → tổng số cực trị thực sự. Mẹo: vẽ bảng biến thiên $g$ + xét bao nhiêu lần đường $y = c_i$ cắt đồ thị $g$.

Bước 1. Tìm tập xác định $D$. Bước 2. Tính $f'(x)$, giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm điểm tới hạn (hoặc điểm $f'$ không xác định). Bước 3. Lập bảng biến thiên / xét dấu $f'(x)$. Bước 4. Kết luận điểm cực đại, cực tiểu + giá trị $y_{CĐ}, y_{CT}$.

Bước 1. Tính $f'(x)$, tìm các điểm $x_i \in (a;b)$ mà $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định. Bước 2. Tính $f(a), f(b)$ và $f(x_i)$ cho mọi $i$. Bước 3. So sánh các giá trị trên:

• Lớn nhất → GTLN.
• Nhỏ nhất → GTNN.

Bước 1 — Đặt ẩn: chọn biến (vd $x$ = số sản phẩm, $x$ = chiều dài, ...). Xác định điều kiện ràng buộc.$x \in D$ (vd $D = (0; M]$). Bước 2 — Lập hàm mục tiêu $f(x)$ (lợi nhuận / chi phí / thể tích / diện tích ...) theo biến đã đặt. Bước 3 — Khảo sát $f$ trên $D$:

• Tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$.
• Lập bảng biến thiên hoặc so sánh giá trị tại biên + điểm tới hạn.

Bước 4 — Kết luận giá trị tối ưu + giải thích bài toán thực tế.

Bước 1. Đặt $y = $ biểu thức, nhân chéo: $y(a'\sin x + b'\cos x + c') = a\sin x + b\cos x + c$. Bước 2. Gom các hệ số $\sin x, \cos x$ về 1 vế: $(y a' - a)\sin x + (y b' - b)\cos x = c - y c'$. Bước 3. Điều kiện có nghiệm (dạng $A\sin x + B\cos x = C$): $A^2 + B^2 \geq C^2$. Bước 4. Đó là bất phương trình bậc 2 theo $y$ → giải tìm khoảng $y$. Bước 5. GTLN = đầu phải, GTNN = đầu trái.

Hai cột chiều cao $h_1, h_2$ cách nhau $d$ trên mặt đất. Tìm điểm $M$ trên mặt đất giữa 2 cột để $h_1 M + M h_2$ (tổng dây) min. Phương pháp phản chiếu: lấy đối xứng đỉnh cột 2 qua mặt đất → khoảng cách min khi $M$ thẳng hàng giữa đỉnh cột 1 và ảnh phản chiếu cột 2. Vị trí tối ưu (tỉ lệ): $AM = \dfrac{d h_1}{h_1 + h_2}$. → Áp dụng cho dây cáp, bài 'người đi từ A qua sông đến B' (đường tia phản chiếu).

Bước 1. Tìm tập xác định, xác định các điểm gián đoạn $x_0$. Bước 2. Tính $\lim_{x \to x_0^{\pm}} f(x)$ — nếu $\pm\infty$ thì $x = x_0$ là tiệm cận đứng. Bước 3. Tính $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ — nếu $= y_0$ hữu hạn thì $y = y_0$ là tiệm cận ngang. Bước 4 (nâng cao): nếu $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = a$ và $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = b$ hữu hạn → $y = ax + b$ là tiệm cận xiên.

Bước 1 — Tập xác định $D$. Bước 2 — Sự biến thiên:

• Tính $f'(x)$, tìm điểm $f'(x) = 0$ hoặc không xác định.
• Xét dấu $f'$ → khoảng đồng/nghịch biến.
• Cực trị: điểm $f'$ đổi dấu.
• Giới hạn tại biên $D$ + giới hạn tại $\pm\infty$ → tiệm cận.
• Lập bảng biến thiên.

Bước 3 — Đồ thị:

• Giao trục: $f(0)$ (Oy), $f(x) = 0$ (Ox).
• Điểm đặc biệt: cực trị, đối xứng (tâm/trục).
• Vẽ tiệm cận (nếu có), vẽ nhánh dựa trên BBT.

Cho BBT/đồ thị $f$: Bước 1. Vẽ đường ngang $y = m$ (song song Ox). Bước 2. Đếm số giao điểm với đồ thị $y = f(x)$:

• Số giao = số nghiệm của phương trình.
• $m$ thay đổi → biện luận theo các giá trị của $m$ so với GTLN, GTNN, giá trị cực trị, giá trị tại biên.

Bước 3. Chia khoảng $m$ thành các khoảng có cùng số nghiệm.

Cho BBT của hàm số $y = f(x)$: Khoảng đồng/nghịch biến: nhìn dấu mũi tên $\nearrow$ / $\searrow$. Cực trị: điểm $f'$ đổi dấu — chuyển từ $+ \to -$ (CĐ) hoặc $- \to +$ (CT). Tiệm cận (đứng): cột có $f(x) \to \pm\infty$ tại 2 phía của 1 giá trị $x_0$ hữu hạn. Tiệm cận ngang: cột $x \to \pm\infty$ với $f(x)$ tiến tới hữu hạn. Phương trình $f(x) = m$: đếm số giao điểm đường ngang $y = m$ với đồ thị tương ứng.

• Catenary (dây võng): $y = a(e^{x/c} + e^{-x/c})$ — đối xứng, điểm thấp nhất tại $x = 0$.

$y' = (a/c)(e^{x/c} - e^{-x/c}) = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Khác parabol — không phải $y = ax^2$.

• Logistic growth: $f(t) = \dfrac{K}{1 + A e^{-kt}}$ — tốc độ $f'(t)$ đạt max tại điểm uốn:

$t^ = \dfrac{\ln A}{k}$, ứng với $f(t^) = K/2$. → Bài thực tế (dây điện, tăng trưởng vi khuẩn) — đừng giả định parabol / mũ đơn thuần.

Sau khi giải $f'(x) = 0$ tìm điểm tới hạn $x^*$:

• Bắt buộc kiểm tra $x^* \in$ miền cho phép (đoạn / khoảng đề ra).
• Nếu $x^*$ ngoài miền: bỏ qua, GTLN/GTNN đạt tại biên.
• Nếu nhiều $x^*$: tính giá trị tại các điểm $\in$ miền + 2 biên, so sánh.

Nhiều bài bị sai vì dùng $x^*$ ngoài miền (vd $x = -3$ cho bài $x \geq 0$).