Thống kê

Mẫu số liệu ghép nhóm chia $n$ số liệu thành các nhóm dạng nửa khoảng $[a_i; a_{i+1})$ với tần số $n_i$ tương ứng. Ký hiệu:

• $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$: giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm.
• $n_i$: tần số nhóm $i$.
• $N$: tổng tần số = $\sum n_i$.
• $N_i$: tần số tích lũy đến nhóm $i$.

Khoảng tứ phân vị (IQR — interquartile range): $$\Delta_Q = Q_3 - Q_1.$$ Đặc trưng độ phân tán của 50% dữ liệu giữa, ít chịu ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai.

Một giá trị $x$ trong mẫu được coi là ngoại lai nếu: $$x < Q_1 - 1.5 \, \Delta_Q \quad \text{hoặc} \quad x > Q_3 + 1.5 \, \Delta_Q.$$ → Khi mẫu có ngoại lai, trung vị + khoảng tứ phân vị mô tả tốt hơn trung bình + phương sai.

Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm: $$R = a_{\max} - a_{\min},$$ với $a_{\max}$ = đầu phải của nhóm cuối, $a_{\min}$ = đầu trái của nhóm đầu.

$$\overline{x} = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i x_i = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{N},$$ với $x_i$ = trung điểm nhóm $i$, $n_i$ = tần số, $N = \sum n_i$.

Trung vị ở nhóm $[a_m; a_{m+1})$ chứa vị trí $\dfrac{N}{2}$: $$M_e = a_m + \dfrac{\dfrac{N}{2} - N_{m-1}}{n_m} \cdot (a_{m+1} - a_m),$$ với $N_{m-1}$ = tần số tích lũy đến trước nhóm $m$, $n_m$ = tần số nhóm $m$.

Mốt nằm ở nhóm có tần số lớn nhất. Gọi nhóm đó là $[a_i; a_{i+1})$ với tần số $n_i$, tần số 2 nhóm liền kề $n_{i-1}, n_{i+1}$: $$M_o = a_i + \dfrac{n_i - n_{i-1}}{(n_i - n_{i-1}) + (n_i - n_{i+1})} \cdot (a_{i+1} - a_i).$$

$Q_2 = M_e$ (trung vị). $Q_1$: tương tự công thức trung vị nhưng dùng $\dfrac{N}{4}$: $$Q_1 = a_{m_1} + \dfrac{\dfrac{N}{4} - N_{m_1 - 1}}{n_{m_1}} \cdot (a_{m_1+1} - a_{m_1}).$$ $Q_3$: dùng $\dfrac{3N}{4}$ tương tự.

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{1}{N} \sum n_i (x_i - \overline{x})^2}.$$ Cùng đơn vị với số liệu gốc — dễ giải thích trong thực tế.

$$s^2 = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \overline{x})^2.$$ Công thức rút gọn (tiện máy tính): $$s^2 = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i x_i^2 - \overline{x}^2.$$

Bước 1. Lập bảng với cột: nhóm, $x_i$ (trung điểm), $n_i$, $N_i$ (tích lũy). Bước 2. Tính $N = \sum n_i$. Bước 3. Tính theo công thức:

• $\overline{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$.
• Tìm nhóm chứa vị trí $N/2$ → trung vị $M_e$.
• Tìm nhóm tần số lớn nhất → mốt $M_o$.

Bước 4. Kết luận.

Bước 1. Lập bảng tần số ghép nhóm với cột $x_i, n_i$. Bước 2. Tính $\overline{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$. Bước 3. Tính $\sum n_i x_i^2$. Bước 4. Phương sai: $s^2 = \dfrac{\sum n_i x_i^2}{N} - \overline{x}^2$. Bước 5. Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.

Số trung bình ghép nhóm KHÔNG dùng giá trị thật của số liệu — chỉ dùng trung điểm của mỗi nhóm. → Đây là giá trị ước lượng, có thể chênh với mean thực, nhưng đủ chính xác cho thống kê. Khi đề cho 'nhóm $[10; 20)$' thì $x_i = 15$ — không phải $10$ hoặc $20$.

Khi $x_i$ lớn (nhóm 100, 200...): chuyển về $u_i = x_i - x_0$ (trừ đi 1 hằng số) → tính trên $u_i$ rồi cộng lại $x_0$ vào $\overline{x}$. Phương sai không đổi qua phép tịnh tiến: $s^2(u) = s^2(x)$. → Giảm sai sót khi bình phương số lớn.