Quan hệ vuông góc trong không gian

Góc giữa 2 đường thẳng $a, b$ trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau $a', b'$ lần lượt song song với $a, b$, đi qua 1 điểm bất kỳ. Quy ước: góc giữa 2 đường thẳng nằm trong khoảng $[0°; 90°]$.

Đường thẳng $d$ gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Ký hiệu: $d \perp (P)$.

Cho $d$ không vuông góc $(P)$. Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và $d'$. Ký hiệu: $(\widehat{d, (P)})$. Quy ước:

• $d \subset (P)$ hoặc $d \parallel (P)$: góc = $0°$.
• $d \perp (P)$: góc = $90°$.
• Trường hợp khác: $0° < \alpha < 90°$.

Góc giữa 2 mặt phẳng = số đo của góc nhị diện (lấy trị trong $[0°; 90°]$).

• $(P) \parallel (Q)$ hoặc $(P) \equiv (Q)$: góc = $0°$.
• Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $d$: góc = góc giữa 2 đường thẳng cùng nằm trong $(P), (Q)$ và cùng vuông góc với $d$.

Góc nhị diện là hình giới hạn bởi 2 nửa mặt phẳng có chung 1 cạnh. Số đo góc nhị diện = số đo của góc phẳng nhị diện: lấy 1 điểm $M$ trên cạnh, vẽ trong mỗi nửa mặt phẳng một tia vuông góc với cạnh xuất phát từ $M$ → góc tạo bởi 2 tia.

Hai mặt phẳng $(P), (Q)$ gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng $90°$. Ký hiệu: $(P) \perp (Q)$.

Cho $d \parallel (P)$. Khoảng cách từ $d$ đến $(P)$ là khoảng cách từ bất kỳ điểm $A \in d$ đến $(P)$ (không phụ thuộc cách chọn $A$). $d(d, (P)) = d(A, (P))$ với $A \in d$ tuỳ ý.

Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$, ký hiệu $d(A, (P))$, là độ dài đoạn $AH$ với $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$. $d(A, (P)) = AH$ với $AH \perp (P)$.

Cho $a, b$ chéo nhau. Đường vuông góc chung của $a, b$ là đường thẳng cắt cả $a, b$ và vuông góc với cả $a, b$ (luôn tồn tại duy nhất). Khoảng cách giữa $a, b$ = độ dài đoạn vuông góc chung.

Cho $(P) \parallel (Q)$. Khoảng cách $d((P), (Q))$ = khoảng cách từ bất kỳ điểm $A \in (P)$ đến $(Q)$.

Hình chóp đều là hình chóp có:

• Đáy là một đa giác đều.
• Chân đường cao trùng với tâm của đáy (tâm đường tròn ngoại tiếp đáy).

Hệ quả: các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.

Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là 4 tam giác đều bằng nhau (và 6 cạnh bằng nhau). Tứ diện đều cạnh $a$:

• Chiều cao $h = \dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy (tam giác đều cạnh $a$): $R_{\triangle} = \dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.

Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau $a, b$ cùng nằm trong $(P)$ thì $d \perp (P)$. $$\begin{cases} a, b \subset (P) \\ a \cap b = \{I\} \\ d \perp a, d \perp b \end{cases} \Rightarrow d \perp (P).$$

Cho $d$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, $a$ là đường thẳng không vuông góc $(P)$. Gọi $a'$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên $(P)$. Khi đó: $$d \perp a \Leftrightarrow d \perp a'.$$ → Rất hữu ích để đưa bài toán vuông góc trong không gian về bài toán phẳng.

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì 2 mặt phẳng đó vuông góc. $$\begin{cases} a \subset (P) \\ a \perp (Q) \end{cases} \Rightarrow (P) \perp (Q).$$

Cho $(P) \perp (Q)$, $(P) \cap (Q) = d$:

• Mọi đường thẳng $\subset (P)$ và $\perp d$ thì $\perp (Q)$.
• Nếu $A \in (P)$, từ $A$ kẻ $a \perp (Q)$ thì $a \subset (P)$.
• Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau $(P), (Q)$ cùng vuông góc $(R)$ thì giao tuyến của $(P), (Q)$ cũng $\perp (R)$.

Trong hình chóp đều $S.A_1 A_2 \dots A_n$ với tâm đáy $O$:

• $SO$ = đường cao.
• Gọi $M$ là trung điểm cạnh đáy $A_1 A_2$. Trung đoạn = $SM$.
• Trong tam giác vuông $SOM$: $SM^2 = SO^2 + OM^2$.
• $OM$ = bán kính đường tròn nội tiếp đáy.

Mặt bên $SA_1 A_2$ có chiều cao = $SM$ → diện tích mặt bên = $\dfrac{1}{2} \cdot A_1 A_2 \cdot SM$.

Cho 2 vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ của 2 đường thẳng $a, b$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $a, b$: $$\cos \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}.$$ Lưu ý dấu trị tuyệt đối — đảm bảo $0 \leq \cos\alpha \leq 1$, vì $\alpha \in [0°; 90°]$.

Gọi $A$ là một điểm trên $d$ ngoài $(P)$, $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $(P)$, $O = d \cap (P)$. Khi đó $\alpha = \widehat{AOH}$ — góc trong tam giác vuông $AHO$: $$\sin \alpha = \dfrac{AH}{AO}, \quad \cos \alpha = \dfrac{OH}{AO}, \quad \tan \alpha = \dfrac{AH}{OH}.$$

Cho $\vec{u}$ vectơ chỉ phương của $d$, $\vec{n}$ vectơ pháp tuyến của $(P)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ là $\alpha$: $$\sin \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}.$$ (Vì $\alpha + \beta = 90°$ với $\beta$ là góc giữa $d$ và pháp tuyến của $(P)$.)

$$S_{xq} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot l,$$ với $p$ = chu vi đáy, $l$ = trung đoạn (apothem từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy). $S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

$$V_{\text{tứ diện đều}} = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}.$$ Diện tích mặt bên (tam giác đều cạnh $a$): $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Bước 1. Gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ phù hợp với hình. Bước 2. Tính toạ độ các điểm liên quan → tìm vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$. Bước 3. Áp dụng công thức $\cos\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Lưu ý: dùng cho hình có trục đối xứng / vuông góc tự nhiên (lập phương, hộp chữ nhật...).

Bước 1. Chọn 1 điểm $O$ (tiện nhất là điểm chung của 2 đường thẳng nếu có, hoặc 1 điểm cho trước). Bước 2. Qua $O$ vẽ $a' \parallel a$ và $b' \parallel b$. Bước 3. Góc giữa $a, b$ = góc giữa $a', b'$ trong cùng mặt phẳng — đo trực tiếp. Mẹo: chọn $a' \equiv a$ nếu $a$ cắt $b$ — chỉ cần tịnh tiến 1 đường.

Bước 1. Chọn 2 đường thẳng cắt nhau $a, b$ trong $(P)$. Bước 2. Chứng minh $d \perp a$ và $d \perp b$ (thường dùng hình bình hành, hình thoi, tam giác cân, định lý Pythagore...). Bước 3. Kết luận $d \perp (P)$ → suy ra $d$ vuông góc với mọi đường thẳng trong $(P)$. Mẹo: chọn $a, b$ là 2 đường đặc trưng dễ chứng minh trực giao (cạnh đáy + đường chéo, trung tuyến + đường cao...).

Cách 1. Một trong 2 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia → ngay lập tức vuông góc. Cách 2. Dùng định lý 3 đường vuông góc. Cách 3. Toạ độ hoá: gắn hệ trục, tính tích vô hướng = 0. Cách 4. Tìm góc giữa = $90°$ (qua phép tịnh tiến trong không gian).

Bước 1. Tìm giao điểm $O = d \cap (P)$. Bước 2. Chọn 1 điểm $A$ trên $d$ khác $O$. Bước 3. Hạ đường vuông góc $AH$ từ $A$ xuống $(P)$. (Thường $H$ trùng với điểm có sẵn hoặc dễ xác định.) Bước 4. Góc cần tìm $\alpha = \widehat{AOH}$ — tính trong tam giác vuông $AHO$ vuông tại $H$.

Cho $(P) \cap (Q) = d$: Bước 1. Chọn 1 điểm $M \in d$ (chọn cho thuận tiện). Bước 2. Trong $(P)$ vẽ $Mx \perp d$. Trong $(Q)$ vẽ $My \perp d$. Bước 3. Góc giữa 2 mặt phẳng = $\widehat{xMy}$. Mẹo: chọn $M$ sao cho việc dựng $Mx, My$ trùng với đường đã có (cạnh, đường cao, trung tuyến).

Cách 1. Tìm 1 đường thẳng $a \subset (P)$ với $a \perp (Q)$ (định lý điều kiện). Cách 2. Tính góc giữa $(P), (Q)$ = $90°$ (qua bước dựng góc nhị diện).

Bước 1. Trong $(P)$ chọn 1 đường thẳng đặc trưng $\Delta$ sao cho mặt phẳng $(AB\Delta)$ với $B \in \Delta$ chứa hình chiếu của $A$. Bước 2. Dựng $AH \perp$ giao tuyến — $H$ chính là hình chiếu khi $(AB\Delta) \perp (P)$. Bước 3. $d(A, (P)) = AH$. Mẹo chuyển bài: nếu khó dựng $AH$ trực tiếp, dùng 'đổi điểm' qua tỉ lệ.

Trong hình chóp $S.ABC$: $$d(S, (ABC)) = \dfrac{3 V_{S.ABC}}{S_{ABC}}.$$ Tương tự cho khoảng cách từ một đỉnh đến mặt phẳng chứa các đỉnh còn lại. Khi nào dùng: khi đã biết / dễ tính thể tích và diện tích đáy, nhưng khó dựng hình chiếu.

Cách 1 — Dựng đoạn vuông góc chung trực tiếp: thường dùng khi 2 đường thẳng vuông góc với nhau. Cách 2 — Đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

• Tìm $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$.
• $d(a, b) = d(a, (P)) = d(M, (P))$ với $M$ bất kỳ trên $a$.

Cách 3 — Toạ độ hoá: gắn hệ trục, dùng công thức $d(a, b) = \dfrac{|[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{AB}|}{|[\vec{u}, \vec{v}]|}$. Cách 2 là phổ biến nhất trong các bài THPT.

Sau khi tịnh tiến → 3 đỉnh $A, B, C$ trong cùng 1 tam giác, góc $\widehat{BAC}$ chính là góc cần tìm: $$\cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}.$$ Lấy trị tuyệt đối nếu góc nhọn / tù không quan trọng (chỉ cần $\in [0°; 90°]$).

Trong hình chóp, chọn $A$ = đỉnh chóp $S$ — thì $H$ thường là tâm đáy / chân đường cao, đã được dựng sẵn từ đầu bài. Đối với cạnh bên $SA$: $\alpha = \widehat{SAH}$ — tan $\alpha = SH / AH$ (với $AH$ thuộc đáy).

Khi tính $d(A, (P))$ nhưng $A$ ở vị trí khó dựng đường vuông góc:

• Chọn điểm $B$ khác sao cho $AB \parallel (P)$: $d(A, (P)) = d(B, (P))$.
• Hoặc dùng tỉ lệ: nếu $\dfrac{AM}{BM} = k$ với $M \in (P)$ thì $d(A, (P)) = k \cdot d(B, (P))$.

Trong hình chóp đều với đỉnh $S$, tâm đáy $O$, $A$ là đỉnh đáy, $M$ trung điểm cạnh đáy:

• Góc giữa cạnh bên $SA$ và đáy = $\widehat{SAO}$, $\tan = \dfrac{SO}{OA}$.
• Góc giữa mặt bên $(SA_1A_2)$ và đáy = $\widehat{SMO}$, $\tan = \dfrac{SO}{OM}$.

(Vì $OA$ là đường chiếu của $SA$, $OM$ vuông góc $A_1A_2$.)