Quy tắc đếm và xác suất

Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ ($k \leq n$) là một cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử CÓ phân biệt thứ tự. Số chỉnh hợp: $$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1).$$

Tổ hợp chập $k$ của $n$ là một cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử KHÔNG phân biệt thứ tự. Số tổ hợp: $$C_n^k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{A_n^k}{k!}.$$

Hoán vị của $n$ phần tử là mỗi cách sắp xếp thứ tự $n$ phần tử đó. Số hoán vị: $$P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1.$$

Cho 2 biến cố $A, B$ với $P(B) > 0$. Xác suất của $A$ với điều kiện $B$: $$P(A | B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ Ý nghĩa: xác suất $A$ xảy ra khi biết $B$ đã xảy ra.

Hai biến cố $A, B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra (hay không) của $A$ KHÔNG ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của $B$ và ngược lại. Điều kiện đặc trưng: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, $a, b \in \mathbb{R}$: $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + \dots + C_n^n b^n.$$

Cho hệ đầy đủ $B_1, \dots, B_n$ và biến cố $A$ với $P(A) > 0$: $$P(B_k | A) = \dfrac{P(B_k) \cdot P(A | B_k)}{P(A)} = \dfrac{P(B_k) \cdot P(A | B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i)}.$$ Ý nghĩa: cập nhật xác suất "nguyên nhân $B_k$" sau khi biết "hậu quả $A$" đã xảy ra.

Cho các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ tạo thành hệ đầy đủ (đôi một xung khắc + tổng = $\Omega$). Với biến cố $A$ bất kỳ: $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i).$$

Một công việc có thể thực hiện bằng $k$ phương án (loại trừ lẫn nhau). Phương án thứ $i$ có $n_i$ cách thực hiện. Khi đó số cách hoàn thành công việc: $$n_1 + n_2 + \dots + n_k.$$ Áp dụng: khi đề xuất hiện "hoặc" (xung khắc).

Một công việc gồm $k$ bước liên tiếp. Bước $i$ có $n_i$ cách thực hiện (độc lập với các bước trước). Khi đó số cách hoàn thành công việc: $$n_1 \cdot n_2 \cdots n_k.$$ Áp dụng: khi đề xuất hiện "và" / "sau đó" (liên tiếp).

Trong khai triển $(a + b)^n$, số hạng thứ $k+1$ (đánh số từ 0): $$T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k.$$ Có $n + 1$ số hạng trong khai triển.

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B) = P(A) \cdot P(B | A).$$ Tổng quát cho $n$ biến cố: $$P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdots P(A_n | A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}).$$

Cho 2 biến cố độc lập $A, B$: $$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}).$$ Tổng quát $n$ biến cố độc lập: $$P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - \prod_{i=1}^{n} P(\overline{A_i}) = 1 - \prod_{i=1}^{n} (1 - P(A_i)).$$

Bước 1. Đọc đề, xác định công việc / sự kiện cần đếm. Bước 2. Phân biệt phương án vs giai đoạn:

• Phương án: "hoặc" → quy tắc cộng.
• Giai đoạn: "và" → quy tắc nhân.

Bước 3. Đếm số cách cho mỗi nhánh / bước. Bước 4. Tổng hợp theo quy tắc đã chọn.

Dạng 1 — Trong nhóm chọn có ÍT NHẤT 1 phần tử đặc biệt:

• Chọn riêng phần tử đặc biệt + chọn phần còn lại từ phần tử còn lại.
• Hoặc dùng phần bù: tổng cách − cách KHÔNG có phần tử đặc biệt.

Dạng 2 — Phải có đại diện từ nhiều nhóm:

• Liệt kê các phân bố hợp lệ (số người mỗi nhóm) → tính từng phân bố → cộng tổng.

Dạng 3 — Số chia hết / mã không bắt đầu bằng 0:

• Chọn vị trí đầu tiên trước (loại 0 đứng đầu).
• Số chia hết: xác định điều kiện chia hết → chọn các chữ số phù hợp.

Dạng 1 — Các phần tử đặc biệt phải đứng cùng nhau (vd A và B kề nhau):

• Coi A, B là 1 "khối" → tổng cộng $(n-1)$ phần tử → xếp $(n-1)!$ cách.
• Bên trong khối A, B: $2!$ cách.
• Tổng: $(n-1)! \cdot 2!$.

Dạng 2 — Các phần tử KHÔNG được kề nhau (vd A và B không kề):

• Tổng cách xếp $n!$ − cách kề nhau = $n! - (n-1)! \cdot 2!$.

Dạng 3 — Xếp xen kẽ (nam-nữ xen kẽ):

• Xác định số chỗ cho mỗi loại + sắp xếp riêng từng loại.

Cho khai triển $(a(x) + b(x))^n$, tìm hệ số / số hạng chứa $x^m$: Bước 1. Viết số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_n^k [a(x)]^{n-k} [b(x)]^k$. Bước 2. Rút gọn, tách phần phụ thuộc $x$ và hằng số. Bước 3. Cho lũy thừa $x$ bằng $m$ → giải tìm $k$. Bước 4. Nếu $k \in [0; n]$ và nguyên → tính hệ số tương ứng.

Bước 1. Liệt kê đầy đủ các biến cố + xác suất cho trước. Bước 2. Phân biệt:

• "Biết $B$ xảy ra, tính xác suất $A$" → $P(A|B)$.
• "$A$ và $B$ đều xảy ra" → $P(A \cap B)$.

Bước 3. Áp dụng công thức:

• $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$ (định nghĩa).
• Bayes: tính $P(\text{nguyên nhân} | \text{hậu quả})$.
• Toàn phần: tổng các nhánh trường hợp.

Bước 1. Xác định các biến cố cơ bản $A_i$ và kiểm tra tính độc lập (các phép thử riêng biệt, không ảnh hưởng nhau). Bước 2. Tính $P(A_i)$ cho từng biến cố. Bước 3. Phân tích biến cố cần tính:

• "Cả $A$ và $B$": $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• "Ít nhất một": dùng phần bù như trên.
• "Đúng $k$ thành công trong $n$ phép thử": dùng phân phối nhị thức.

Khi đếm "ít nhất" hoặc "có" khó: tính phần bù (số cách KHÔNG thoả) rồi lấy tổng trừ đi. Ví dụ: số cách xếp 5 người sao cho A và B không ngồi cạnh nhau = $5! - $ (số cách A, B cạnh nhau) = $120 - 2 \cdot 4! = 72$.

• Hoán vị $P_n$: dùng HẾT $n$ phần tử + sắp xếp thứ tự.
• Chỉnh hợp $A_n^k$: chọn $k$ + CÓ thứ tự.
• Tổ hợp $C_n^k$: chọn $k$ + KHÔNG thứ tự.

Dấu hiệu:

• Đổi thứ tự cho kết quả khác → chỉnh hợp (ban đại diện: chủ tịch + phó).
• Đổi thứ tự cho kết quả như nhau → tổ hợp (chọn nhóm 3 người).

Cho $n$ phần tử trong đó có $k_1$ phần tử loại A, $k_2$ phần tử loại B, ... $k_1 + k_2 + \dots = n$. Số cách xếp: $$\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.$$ Vd: số cách xếp chữ "MATHEMATICS" = $\dfrac{11!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}$ (M=2, A=2, T=2).

Hệ số khai triển $(a+b)^n$ lấy từ hàng thứ $n$ tam giác Pascal: $n=0: 1$ $n=1: 1, 1$ $n=2: 1, 2, 1$ $n=3: 1, 3, 3, 1$ $n=4: 1, 4, 6, 4, 1$ $n=5: 1, 5, 10, 10, 5, 1$ Quy tắc: 2 số kề trên cộng nhau → số dưới.

Thay $a, b$ phù hợp trong $(a+b)^n$:

• $a = b = 1$: $\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$.
• $a = 1, b = -1$: $\sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k = 0$.
• $a = b = x$: $\sum C_n^k x^k \cdot x^{n-k} = (2x)^n / \dots$.

Đạo hàm $(1+x)^n$ → tổng $\sum k C_n^k x^{k-1}$, ...

Khi đề hỏi "ít nhất 1 thành công" với nhiều phép thử độc lập: dùng phần bù "không có thành công nào" sẽ nhanh hơn. $$P(\text{ít nhất 1}) = 1 - P(\text{tất cả thất bại}) = 1 - q^n$$ với $q$ là xác suất thất bại 1 phép thử.