Hàm số mũ và hàm số logarit

Cho $a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*$:

• $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ lần}}$.
• $a^0 = 1$ (với $a \neq 0$).
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (với $a \neq 0$).

Cho $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Căn bậc $n$ của $a$ là số $b$ thoả $b^n = a$.

• $n$ lẻ: với mọi $a \in \mathbb{R}$ có đúng 1 căn bậc $n$, ký hiệu $\sqrt[n]{a}$.
• $n$ chẵn, $a > 0$: có 2 căn $\pm \sqrt[n]{a}$ với $\sqrt[n]{a} > 0$.
• $n$ chẵn, $a = 0$: $\sqrt[n]{0} = 0$.
• $n$ chẵn, $a < 0$: không tồn tại căn bậc $n$ trên $\mathbb{R}$.

Cho $a > 0$, $m, n$ nguyên, $n \geq 2$: $$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}.$$ Đặc biệt: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$.

Cho $a > 0, a \neq 1$ và $b > 0$. Logarit cơ số $a$ của $b$ là số $\alpha$ duy nhất thoả $a^{\alpha} = b$: $$\log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^{\alpha} = b.$$ Đặc biệt: $\log_a 1 = 0, \log_a a = 1, \log_a a^{\alpha} = \alpha$.

Cho $a > 0, a \neq 1$. Hàm số mũ cơ số $a$ là $y = a^x$ với $x \in \mathbb{R}$.

• TXĐ: $\mathbb{R}$.
• Tập giá trị: $(0; +\infty)$.
• $y > 0 \, \forall x$.

Cho $a > 0, a \neq 1$. Hàm logarit cơ số $a$ là $y = \log_a x$ với $x > 0$.

• TXĐ: $(0; +\infty)$.
• Tập giá trị: $\mathbb{R}$.
• $y = a^x$ và $y = \log_a x$ là hàm ngược của nhau, đồ thị đối xứng qua $y = x$.

Cho $a > 0, a \neq 1$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$:

• $a > 1$: $a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha > \beta$ (đồng biến theo mũ).
• $0 < a < 1$: $a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha < \beta$ (nghịch biến).

Cho $a > 0, a \neq 1$ và $b, c > 0$:

• $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$.
• $a^{\log_a b} = b$.
• $\log_a a^{\alpha} = \alpha$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}$.

Cho $a > 0, a \neq 1$, $b_1, b_2 > 0$:

• $a > 1$: $\log_a b_1 > \log_a b_2 \Leftrightarrow b_1 > b_2$ (đồng biến).
• $0 < a < 1$: $\log_a b_1 > \log_a b_2 \Leftrightarrow b_1 < b_2$ (nghịch biến).

Cho $a, b > 0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$: $$a^{\alpha} \cdot a^{\beta} = a^{\alpha + \beta}, \quad \dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}.$$ $$(a^{\alpha})^{\beta} = a^{\alpha \beta}, \quad (ab)^{\alpha} = a^{\alpha} b^{\alpha}.$$ $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\alpha} = \dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}.$$

Với $a, b \geq 0$ (nếu $n$ chẵn), $a, b \in \mathbb{R}$ (nếu $n$ lẻ): $$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \quad \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}.$$ $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}, \quad (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}.$$

$$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \quad (a, b, c > 0; a, c \neq 1).$$ Hệ quả: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ (với $b \neq 1$). Hệ quả: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.

Cho $a > 0, a \neq 1$, $b, c > 0$: $$\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c.$$ $$\log_a \dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c.$$ $$\log_a b^{\alpha} = \alpha \log_a b, \quad \log_a \sqrt[n]{b} = \dfrac{1}{n} \log_a b.$$ $$\log_{a^{\alpha}} b = \dfrac{1}{\alpha} \log_a b \, (\alpha \neq 0).$$

$$\left(a^x\right)' = a^x \ln a, \quad \left(e^x\right)' = e^x.$$ $$\left(\log_a x\right)' = \dfrac{1}{x \ln a}, \quad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}.$$ Tổng quát (hàm hợp $u = u(x)$): $$\left(a^{u}\right)' = a^u \ln a \cdot u', \quad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}.$$

Cho $a > 0, a \neq 1$: $$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x).$$ $$a^{f(x)} = b \, (b > 0) \Leftrightarrow f(x) = \log_a b.$$ $$a^{f(x)} = b \, (b \leq 0) \Rightarrow \text{vô nghiệm}.$$

Cho $a > 0, a \neq 1$:

• $a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (giữ chiều).
• $0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (đổi chiều).

Tương tự với $\geq, <, \leq$.

Cho $a > 0, a \neq 1$: $$\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases}.$$ $$\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b.$$ (Phải kèm ĐKXĐ $f(x) > 0$.)

Cho $a > 0, a \neq 1$. Giả thiết $f(x), g(x) > 0$:

• $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.
• $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (đổi chiều).

$$\log_a f(x) > b \Leftrightarrow \begin{cases} a > 1: f(x) > a^b \\ 0 < a < 1: 0 < f(x) < a^b \end{cases}.$$

Phương trình $A \cdot a^{2x} + B \cdot (ab)^x + C \cdot b^{2x} = 0$: Bước 1. Chia 2 vế cho $b^{2x}$ (hoặc $a^{2x}$). Bước 2. Đặt $t = (a/b)^x > 0$. Bước 3. Quy về phương trình bậc 2 theo $t$.

Khi không thể đưa về cùng cơ số: lấy log 2 vế. $a^{f(x)} = b^{g(x)} \Rightarrow f(x) \log a = g(x) \log b$. Vd: $3^x \cdot 5^{x+1} = 15 \Leftrightarrow \log(3^x \cdot 5^{x+1}) = \log 15$. Áp dụng tính chất logarit để biến đổi → phương trình đại số.

Bước 1. Biến đổi 2 vế về dạng $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Bước 2. Suy ra $f(x) = g(x)$. Bước 3. Giải phương trình đại số. Vd: $4^x = 8^{x-1} \Leftrightarrow 2^{2x} = 2^{3(x-1)} \Leftrightarrow 2x = 3x - 3 \Leftrightarrow x = 3$.

Dùng cho phương trình dạng $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$: Bước 1. Đặt $t = a^x$ với $t > 0$. Bước 2. Quy về phương trình bậc 2: $A t^2 + B t + C = 0$. Bước 3. Giải tìm $t$, loại nghiệm $t \leq 0$. Bước 4. Trở lại biến cũ: $x = \log_a t$. Vd: $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Đặt $t = 2^x > 0$: $t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1$ hoặc $t = 4 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Mô hình bán rã chu kỳ $T$ (vd $T = 5730$ năm cho C-14): $$\dfrac{N(t)}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}.$$ Khi tỉ lệ còn lại = $(1/2)^k$ (vd $1/8 = (1/2)^3$): tuổi mẫu = $k \cdot T$. → Không cần logarit hoá khi $k$ nguyên hoặc phân số đẹp. Tổng quát: $t = T \cdot \log_{1/2}(N/N_0) = -T \cdot \log_2(N/N_0)$.

Khi 2 vế khó đưa về cùng cơ số log: lấy mũ cơ số $a$ 2 vế. $\log_a f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) = a^{g(x)}$ (kèm ĐKXĐ $f(x) > 0$). Hữu ích khi vế phải chỉ là biểu thức đại số (không có log).

Bước 1. Tìm ĐKXĐ (mọi biểu thức trong $\log$ phải dương). Bước 2. Biến đổi 2 vế cùng cơ số, dùng các công thức $\log_a(uv) = \log_a u + \log_a v$ etc. Bước 3. Khi đã ở dạng $\log_a f = \log_a g$, suy ra $f = g$. Bước 4. Giải, đối chiếu ĐKXĐ → kết luận nghiệm. Vd: $\log_2(x+1) + \log_2(x-1) = 3 \Leftrightarrow \log_2(x^2-1) = 3 \Leftrightarrow x^2 - 1 = 8 \Leftrightarrow x = 3$ (loại $x = -3$).

Khi phương trình có dạng $A \log_a^2 x + B \log_a x + C = 0$: Bước 1. ĐKXĐ. Bước 2. Đặt $t = \log_a x$ (không cần điều kiện cho $t$ vì $t \in \mathbb{R}$). Bước 3. Giải phương trình bậc 2 theo $t$. Bước 4. Trở lại: $x = a^t$. Vd: $\log_2^2 x - 3 \log_2 x + 2 = 0$. Đặt $t = \log_2 x$: $t = 1$ hoặc $t = 2 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = 4$.

1. Đưa mọi căn về dạng $a^{m/n}$. 2. Đưa mọi $\dfrac{1}{a^k}$ về $a^{-k}$. 3. Cộng/trừ các số mũ cùng cơ số. 4. Cuối cùng đưa kết quả về dạng yêu cầu (căn hoặc lũy thừa).

Để giải / so sánh nhiều logarit: 1. Dùng $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ để gộp tổng → 1 logarit. 2. Đưa hệ số vào số mũ: $\alpha \log_a b = \log_a b^{\alpha}$. 3. Đổi cơ số nếu cần để mọi logarit cùng cơ số.

Hàm $y = \log_a f(x)$ xác định $\Leftrightarrow f(x) > 0$. Hàm $y = \sqrt[n]{\log_a f(x)}$ ($n$ chẵn) xác định $\Leftrightarrow \log_a f(x) \geq 0$. → Quy về bất phương trình logarit đơn giản, dùng tính đơn điệu của log để giải.

BPT mũ $a^{f(x)} \, \square \, a^{g(x)}$ với $\square \in \{<, >, \leq, \geq\}$:

• $a > 1$ (đồng biến): giữ dấu → $f(x) \, \square \, g(x)$.
• $0 < a < 1$ (nghịch biến): đổi dấu → $f(x) \, \square' \, g(x)$ ($\square'$ ngược).

Nếu quên: thử với $x = 1$ và cơ số mẫu (vd $a = 2$ hay $a = 1/2$) để kiểm tra dấu đúng.

Sau khi đưa về cùng cơ số $a$:

• $a > 1$: giữ chiều bất đẳng thức.
• $0 < a < 1$: đổi chiều bất đẳng thức.

Nhớ ĐKXĐ: mọi $\log_a u$ cần $u > 0$ — kết hợp với điều kiện $a$ rồi mới rút gọn miền nghiệm.

Với $a \leq 0$, lũy thừa $a^{\alpha}$ với $\alpha$ không nguyên thường KHÔNG xác định trên $\mathbb{R}$. Ví dụ $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ không tồn tại. → Khi dùng quy tắc lũy thừa, luôn yêu cầu cơ số dương trừ khi số mũ là nguyên.

Mọi công thức logarit chỉ áp dụng khi:

• Cơ số $a > 0, a \neq 1$.
• Đối số (biểu thức bên trong $\log$) dương.

Khi giải phương trình / bất phương trình logarit: luôn xét ĐKXĐ trước, rồi mới biến đổi.

Khi đặt ẩn phụ $t = a^x$ phải kèm điều kiện $t > 0$. Giải phương trình bậc 2 theo $t$ → loại nghiệm $t \leq 0$ trước khi quay về $x$. Bài làm bỏ quên bước này thường bị trừ điểm hoặc sai số nghiệm.

Khi gộp $\log_a u + \log_a v = \log_a(uv)$, ĐKXĐ ban đầu là $u > 0$ và $v > 0$, chứ KHÔNG phải $uv > 0$. → Sau khi giải xong, phải kiểm tra lại ĐKXĐ ban đầu, không phải ĐKXĐ sau biến đổi. Vd: $\log(x) + \log(x-2)$ cần $x > 0$ và $x > 2 \Rightarrow x > 2$. Nếu thay bằng $\log(x(x-2))$ thì $x(x-2) > 0 \Rightarrow x > 2$ hoặc $x < 0$ — rộng hơn, sai!