Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song

1. Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. 2. Nếu một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng $(P)$ thì cả đường thẳng đó nằm trong $(P)$. 3. Nếu 2 mặt phẳng có 1 điểm chung thì chúng có 1 đường thẳng chung (giao tuyến).

Hai đường thẳng $a, b$ trong không gian gọi là song song nếu:

• Cùng nằm trong một mặt phẳng, và
• Không có điểm chung.

Ký hiệu: $a \parallel b$.

Đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Ký hiệu: $d \parallel (P)$.

Hai mặt phẳng phân biệt $(P), (Q)$ gọi là song song nếu $(P) \cap (Q) = \emptyset$. Ký hiệu: $(P) \parallel (Q)$.

Hình lăng trụ là hình đa diện có:

• 2 mặt đáy là 2 đa giác bằng nhau và nằm trên 2 mặt phẳng song song.
• Các mặt bên là các hình bình hành nối các cạnh tương ứng của 2 đáy.

Ký hiệu: $A_1 A_2 \dots A_n . A_1' A_2' \dots A_n'$.

Cho 3 đường thẳng $a, b, c$ phân biệt: $$a \parallel b \text{ và } b \parallel c \Rightarrow a \parallel c.$$

Trong không gian, qua một điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d$, tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua $A$ và song song với $d$.

Cho 3 mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo 3 giao tuyến $a, b, c$. Khi đó:

• Hoặc $a, b, c$ đôi một song song với nhau.
• Hoặc $a, b, c$ đồng quy (cắt nhau tại 1 điểm chung).

Hệ quả: Nếu 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với 2 đường thẳng kia.

Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng $d'$ nằm trong $(P)$ thì $d \parallel (P)$. $$\begin{cases} d \not\subset (P) \\ d \parallel d' \\ d' \subset (P) \end{cases} \Rightarrow d \parallel (P).$$

Cho $d \parallel (P)$. Nếu $(Q)$ chứa $d$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $d'$ thì $d \parallel d'$. $$\begin{cases} d \parallel (P) \\ d \subset (Q) \\ (Q) \cap (P) = d' \end{cases} \Rightarrow d \parallel d'.$$

Nếu 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng $d$ thì giao tuyến của 2 mặt phẳng (nếu có) cũng song song với $d$.

Cho 3 mặt phẳng đôi một song song $(P), (Q), (R)$. Một đường thẳng $d$ cắt 3 mặt phẳng theo thứ tự tại $A, B, C$; đường thẳng $d'$ cắt theo thứ tự tại $A', B', C'$. Khi đó: $$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}.$$

Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa 2 đường thẳng cắt nhau $a, b$ cùng song song với $(Q)$ thì $(P) \parallel (Q)$. $$\begin{cases} a, b \subset (P) \\ a \cap b = \{I\} \\ a \parallel (Q), b \parallel (Q) \end{cases} \Rightarrow (P) \parallel (Q).$$

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Có 3 vị trí:

• $d$ nằm trong $(P)$: mọi điểm của $d$ thuộc $(P)$.
• $d$ song song $(P)$: $d \cap (P) = \emptyset$, ký hiệu $d \parallel (P)$.
• $d$ cắt $(P)$: $d \cap (P) = \{M\}$ (1 điểm).

Cho 2 đường thẳng $a, b$ trong không gian:

• Cùng mặt phẳng: cắt nhau (1 điểm chung), song song (không có điểm chung) hoặc trùng nhau.
• Không cùng mặt phẳng: chéo nhau (không có điểm chung).

$a, b$ chéo nhau $\Leftrightarrow$ không tồn tại mặt phẳng chứa cả $a$ và $b$.

Cho 2 mặt phẳng $(P), (Q)$. Có 3 trường hợp:

• Trùng nhau: $(P) \equiv (Q)$.
• Song song: $(P) \cap (Q) = \emptyset$, ký hiệu $(P) \parallel (Q)$.
• Cắt nhau: $(P) \cap (Q) = d$ (đường thẳng chung — giao tuyến).

Cho $(P) \parallel (Q)$:

• Mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ đều song song với $(Q)$.
• Qua điểm $A$ ngoài $(P)$ có duy nhất mặt phẳng $(Q)$ chứa $A$ và song song $(P)$.
• 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với 1 mặt phẳng thứ 3 thì song song với nhau.
• Nếu $(R)$ cắt $(P)$ theo $a$ thì $(R)$ cũng cắt $(Q)$ theo $a'$ và $a \parallel a'$.

$$V_{\text{lăng trụ}} = S_{\text{đáy}} \cdot h,$$ với $h$ là chiều cao (= khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đáy).

• Lăng trụ đứng: $h$ = độ dài cạnh bên.
• Hình hộp chữ nhật cạnh $a \times b \times c$: $V = abc$.
• Hình lập phương cạnh $a$: $V = a^3$.

1. Qua 3 điểm không thẳng hàng. 2. Qua 1 đường thẳng và 1 điểm không thuộc đường thẳng đó. 3. Qua 2 đường thẳng cắt nhau. 4. Qua 2 đường thẳng song song.

Muốn tìm giao tuyến $(P) \cap (Q)$: Bước 1. Tìm 1 điểm chung $A$ của $(P)$ và $(Q)$. Bước 2. Tìm thêm 1 điểm chung $B$ khác (hoặc dùng phương song song). Bước 3. Giao tuyến = đường thẳng $AB$. Mẹo: nếu trong $(P)$ có 1 đường thẳng song song / cắt 1 đường thẳng trong $(Q)$, dùng các giao điểm để tìm điểm chung.

Tìm $d \cap (P)$: Bước 1. Chọn mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và dễ tìm giao tuyến với $(P)$. Bước 2. Tìm giao tuyến $\Delta = (P) \cap (Q)$. Bước 3. Tìm giao điểm $A = d \cap \Delta$ — đây chính là giao điểm cần tìm.

Cách 1. Đồng phẳng + không có điểm chung. Cách 2. Cùng song song với 1 đường thẳng thứ 3 (bắc cầu). Cách 3. Dùng định lý 3 giao tuyến: nếu 3 mặt phẳng cắt nhau từng đôi, 3 giao tuyến hoặc đồng quy hoặc song song. Cách 4. Đường thẳng song song với mặt phẳng → giao tuyến của mặt phẳng (chứa đường thẳng) với mặt phẳng kia song song với đường thẳng đó.

Cho $d \parallel (P)$, tìm giao tuyến của 1 mặt phẳng $(Q) \supset d$ với $(P)$: Bước 1. Tìm 1 điểm chung $A$ của $(Q)$ và $(P)$. Bước 2. Giao tuyến đi qua $A$ và song song với $d$. → Vẽ qua $A$ một đường thẳng song song $d$ trong $(P)$ — đó là giao tuyến.

Cách 1. Tìm trong $(P)$ một đường thẳng $d'$ sao cho $d \parallel d'$ và $d \not\subset (P)$. Cách 2. Tìm $(Q) \supset d$ với $(Q) \parallel (P)$. Cách 3. Tìm điểm chung — nếu không có thì $d$ và $(P)$ không cắt nhau.

Cho hình chóp / lăng trụ, dựng thiết diện qua điểm $M$ và song song với $(P)$: Bước 1. Trong $(P)$ xác định các đường thẳng đặc trưng (cạnh / giao tuyến). Bước 2. Qua $M$ vẽ các đường song song với các đường thẳng trong $(P)$ — các giao tuyến của thiết diện với mặt bên / mặt đáy. Bước 3. Nối các giao tuyến → thiết diện.

Cách 1. Tìm 2 đường thẳng $a, b \subset (P)$ cắt nhau và đều song song $(Q)$ (định lý điều kiện). Cách 2. Bắc cầu: $(P) \parallel (R)$ và $(Q) \parallel (R)$. Cách 3. Cả $(P), (Q)$ cùng vuông góc với 1 đường thẳng → song song (kiến thức chương vuông góc).

Trong các bài về hình chóp / lăng trụ: rất hay gặp đường trung bình trong tam giác, hoặc 2 cạnh đối của hình bình hành → ngay lập tức có cặp đường thẳng song song. Đặc biệt: nối các trung điểm để tạo hình bình hành ẩn.

Trong hình chóp có cạnh đáy / cạnh bên với các trung điểm: đường nối 2 trung điểm trong tam giác song song với cạnh đáy thứ 3. → Dùng để chứng minh đường này song song với mặt phẳng (chứa cạnh đáy).