Giới hạn. Hàm số liên tục

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số $L$ (ký hiệu $\lim u_n = L$) nếu $|u_n - L|$ có thể nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn. Nếu $L$ là số thực hữu hạn: $(u_n)$ hội tụ về $L$. Nếu $L = \pm\infty$: $(u_n)$ phân kỳ tới $\pm\infty$.

Hàm số $y = f(x)$ có giới hạn $L$ khi $x \to x_0$ (ký hiệu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$) nếu $|f(x) - L|$ nhỏ tùy ý khi $x$ đủ gần $x_0$ ($x \neq x_0$).

Giới hạn trái: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$ — $x$ tiến tới $x_0$ từ phía bên trái ($x < x_0$). Giới hạn phải: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$ — $x$ tiến tới $x_0$ từ phía bên phải ($x > x_0$). $\lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ nếu $|f(x) - L|$ nhỏ tùy ý khi $x$ đủ lớn. Tương tự cho $x \to -\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ — giới hạn vô cực.

Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ nếu: 1. $f$ xác định tại $x_0$. 2. Tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x)$. 3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Nếu không thoả thì $f$ gián đoạn tại $x_0$.

• $f$ liên tục trên khoảng $(a; b)$ nếu liên tục tại mọi điểm trong đó.
• $f$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ nếu liên tục trên $(a; b)$ và

$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$, $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.

Nếu $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì tồn tại $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$. → Ứng dụng: chứng minh phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên một khoảng.

Nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$ (hữu hạn):

• $\lim(u_n \pm v_n) = a \pm b$.
• $\lim(u_n \cdot v_n) = a \cdot b$.
• $\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{a}{b}$ ($b \neq 0$).
• $\lim |u_n| = |a|$, $\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$ ($u_n \geq 0$).

Nếu $f(x)$ là đa thức và $f$ xác định tại $x_0$: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. (Thay trực tiếp $x = x_0$.)

$$\lim \dfrac{1}{n} = 0, \quad \lim \dfrac{1}{n^k} = 0 \, (k > 0), \quad \lim \dfrac{1}{\sqrt[k]{n}} = 0.$$ $$\lim q^n = \begin{cases} 0 & \text{nếu } |q| < 1 \\ 1 & \text{nếu } q = 1 \\ +\infty & \text{nếu } q > 1 \\ \text{không tồn tại} & \text{nếu } q \leq -1 \end{cases}.$$

$$\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x^k} = 0 \, (k > 0).$$ $$\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty \, (k > 0).$$ $$\lim_{x \to -\infty} x^k = \begin{cases} +\infty & k \text{ chẵn} \\ -\infty & k \text{ lẻ} \end{cases}.$$

$\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $\deg P = m$, $\deg Q = k$, hệ số bậc cao nhất $a_m, b_k$:

• $m < k$: giới hạn = $0$.
• $m = k$: giới hạn = $\dfrac{a_m}{b_k}$.
• $m > k$ và $a_m / b_k > 0$: $+\infty$ (với $x \to +\infty$).
• $m > k$ và dấu phụ thuộc dấu $a_m / b_k$ và chẵn/lẻ của $m - k$ (với $x \to -\infty$).

Dãy có dạng $u_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ với $P, Q$ đa thức: Bước 1. Tìm bậc cao nhất xuất hiện trong tử và mẫu. Bước 2. Chia tử và mẫu cho $n^k$ (lũy thừa cao nhất). Bước 3. Áp dụng $\lim \dfrac{1}{n^m} = 0$ cho $m > 0$. Bước 4. Tính giới hạn theo hệ số bậc cao nhất.

Khi $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ tại $x_0$ cho dạng $\dfrac{0}{0}$: Bước 1. Phân tích $f(x), g(x)$ thành nhân tử có chứa $(x - x_0)$. Bước 2. Rút gọn $(x - x_0)$ khỏi tử và mẫu. Bước 3. Tính giới hạn của biểu thức rút gọn bằng cách thay $x = x_0$. Vd: $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

Cho hàm phân thức $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$: Bước 1. Tìm bậc cao nhất $n$ xuất hiện trong tử + mẫu. Bước 2. Chia cả tử và mẫu cho $x^n$. Bước 3. Mọi $\dfrac{1}{x^k} \to 0$ khi $x \to \pm\infty$. Bước 4. Tính giới hạn cuối. Vd: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x}{x^2 - 5} = \lim \dfrac{2 + 3/x}{1 - 5/x^2} = 2$.

Bước 1. Tính $f(x_0)$ (kiểm tra hàm xác định tại $x_0$). Bước 2. Tính $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Nếu hàm cho theo từng nhánh, tính giới hạn trái và phải rồi so sánh. Bước 3. So sánh $\lim_{x \to x_0} f(x)$ với $f(x_0)$:

• Bằng nhau → liên tục.
• Khác nhau → gián đoạn.

Vd: $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & x \neq 1 \\ m & x = 1 \end{cases}$. Liên tục $\Leftrightarrow m = 2$.

Mục tiêu: chứng minh $f(x) = 0$ có nghiệm trên $(a; b)$. Bước 1. Xác nhận $f$ liên tục trên $[a; b]$. Bước 2. Tính $f(a), f(b)$ → chứng minh $f(a) \cdot f(b) < 0$. Bước 3. Áp dụng IVT → kết luận tồn tại nghiệm. Mẹo chọn $a, b$: thử các số nguyên nhỏ để dấu của $f$ đổi.

Với $u_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$, $\deg P = m$, $\deg Q = k$, hệ số bậc cao nhất $a_m, b_k$:

• $m < k$: $\lim u_n = 0$.
• $m = k$: $\lim u_n = \dfrac{a_m}{b_k}$.
• $m > k$ và $\dfrac{a_m}{b_k} > 0$: $\lim u_n = +\infty$.
• $m > k$ và $\dfrac{a_m}{b_k} < 0$: $\lim u_n = -\infty$.

Khi tử/mẫu có dạng $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ (cho dạng $\dfrac{0}{0}$): Nhân tử + mẫu với liên hợp $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ → khử căn ở chỗ cần rút gọn: $(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$. Vd: $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \dfrac{1}{2}$.

Khi $x \to \pm\infty$, chỉ số hạng bậc cao nhất quyết định giới hạn: $$\lim_{x \to +\infty} (5x^3 + 2x^2 - x + 1) = \lim 5x^3 = +\infty.$$ Áp dụng cho cả tử và mẫu trong phân thức để nhẩm nhanh.

Khi hàm cho theo từng nhánh và bài hỏi liên tục tại điểm chia $x_0$:

• Phải tính cả 2 giới hạn một bên ($x \to x_0^-$ và $x \to x_0^+$).
• Liên tục $\Leftrightarrow$ giới hạn trái = giới hạn phải = $f(x_0)$.

Đừng chỉ dùng 1 nhánh để tính → bài thường sai vì sót nhánh kia.