| Hàm $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|
| $c$ (hằng) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{R}$) | $n x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ ($0 < a \neq 1$) | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x \ln a}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ |
| $\cot x$ | $-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ |
Nếu $y = f(u)$ và $u = g(x)$, thì $y$ là hàm của $x$ qua $u$ và:
$$y'_x = y'_u \cdot u'_x = f'(u) \cdot g'(x).$$
Vd: $y = \sin(2x + 1)$, đặt $u = 2x + 1$ → $y' = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x+1)$.
$$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}, \quad v \neq 0.$$
Lưu ý: dấu trong tử số: $u' v$ TRƯỚC, $u v'$ SAU (đừng nhầm).
$$y = \dfrac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow y' = \dfrac{ad - bc}{(cx+d)^2}.$$
Hệ quả:
- $ad - bc > 0$: $y' > 0$ → đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
- $ad - bc < 0$: $y' < 0$ → nghịch biến.
$$y' = \dfrac{(2ax + b)(a'x + b') - a'(ax^2 + bx + c)}{(a'x + b')^2}.$$
Tử số rút gọn thành tam thức bậc 2 theo $x$.
$$(\sin x)' = \cos x$$
$$(\cos x)' = -\sin x$$
$$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$$
$$(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$$
Với $u = u(x)$:
$$(\sin u)' = u' \cos u$$
$$(\cos u)' = -u' \sin u$$
$$(\tan u)' = \dfrac{u'}{\cos^2 u}$$
$$(\cot u)' = -\dfrac{u'}{\sin^2 u}$$
Khi $\Delta x$ nhỏ:
$$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x.$$
Hay: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ khi $x$ gần $x_0$.
Chuyển động $s = s(t)$:
- Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$.
- Gia tốc tức thời: $a(t) = v'(t) = s''(t)$.
Đơn vị: nếu $s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây → $v$: m/s, $a$: m/s².
Tiếp tuyến với đồ thị $y = f(x)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0)$:
$$y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0,$$
với $y_0 = f(x_0)$.
