Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Dãy số $(u_n)$ là một hàm số $u: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$, $n \mapsto u_n$. $u_n$ gọi là số hạng thứ $n$ (số hạng tổng quát).

Cấp số cộng (CSC) là dãy số $(u_n)$ mà mỗi số hạng (kể từ số thứ 2) đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$: $$u_{n+1} = u_n + d.$$ $d$ gọi là công sai, $u_1$ là số hạng đầu.

Cấp số nhân (CSN) là dãy số $(u_n)$ (với $u_n \neq 0$) mà mỗi số hạng (kể từ số thứ 2) đều bằng số hạng trước nó nhân với một số không đổi $q$: $$u_{n+1} = u_n \cdot q.$$ $q$ gọi là công bội ($q \neq 0$), $u_1$ là số hạng đầu.

Cho dãy số $(u_n)$:

• Tăng: $u_{n+1} > u_n, \forall n$.
• Giảm: $u_{n+1} < u_n, \forall n$.
• Bị chặn trên: tồn tại $M$ sao cho $u_n \leq M, \forall n$.
• Bị chặn dưới: tồn tại $m$ sao cho $u_n \geq m, \forall n$.
• Bị chặn: vừa chặn trên + chặn dưới.

$u_{k-1}, u_k, u_{k+1}$ là 3 số hạng liên tiếp của CSC $\Leftrightarrow u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$. (Mỗi số hạng giữa = trung bình cộng 2 số kề.)

$u_{k-1}, u_k, u_{k+1}$ là 3 số hạng liên tiếp của CSN $\Leftrightarrow u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$. (Mỗi số hạng giữa bình phương = tích 2 số kề.)

$$u_n = u_1 + (n - 1) d.$$

$$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}.$$

Cho CSC $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$, công sai $d$: $$S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}.$$

CSN với $|q| < 1$ có tổng vô hạn: $$S = u_1 + u_2 + u_3 + \dots = \dfrac{u_1}{1 - q}.$$ Ứng dụng: biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.

$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}.$$

$$S_n = \begin{cases} n u_1 & \text{nếu } q = 1 \\ u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q} & \text{nếu } q \neq 1 \end{cases}.$$

Gửi $A$ đồng với lãi suất $r$/kỳ, sau $n$ kỳ: $$T_n = A(1 + r)^n.$$ Trong đó $T_n$ là số tiền nhận sau $n$ kỳ. CSN với $u_0 = A, q = 1 + r$.

Mỗi cuối kỳ gửi $A$ đồng, lãi suất $r$/kỳ. Sau $n$ kỳ: $$T_n = A \cdot \dfrac{(1+r)^n - 1}{r}.$$

Cách 1 — Hiệu: tính $u_{n+1} - u_n$:

• Dương $\forall n$ → tăng.
• Âm $\forall n$ → giảm.

Cách 2 — Thương (khi $u_n > 0$): tính $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$:

• $> 1$ → tăng.
• $< 1$ → giảm.

1. Liệt kê số hạng: $u_1, u_2, u_3, \dots$ 2. Công thức số hạng tổng quát $u_n = f(n)$. Vd $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. 3. Hệ thức truy hồi: cho $u_1$ và $u_{n+1} = g(u_n, n)$. Vd $u_1 = 1$, $u_{n+1} = u_n + 2n$. 4. Mô tả tính chất: vd dãy các số nguyên tố.

Cách 1: kiểm tra $u_{n+1} - u_n$ bằng hằng số với mọi $n$. Cách 2: kiểm tra tính chất 3 số hạng liên tiếp: $2u_k = u_{k-1} + u_{k+1}$. Cách 3: nếu $u_n = an + b$ (tuyến tính theo $n$) → CSC với $u_1 = a+b$, $d = a$.

Bước 1. Thay $u_1, d, S_n$ vào công thức $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$. Bước 2. Thu được phương trình bậc 2 với ẩn $n$. Bước 3. Giải, chọn nghiệm $n \in \mathbb{N}^*$.

Cách 1: kiểm tra $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ là hằng số $q$ với mọi $n$. Cách 2: kiểm tra $u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$ (3 số hạng liên tiếp). Cách 3: nếu $u_n = a \cdot b^n$ ($b \neq 0, 1$) → CSN với $u_1 = ab, q = b$.

Bước 1. Đọc đề, nhận diện dạng:

• Cộng hằng số mỗi bước → CSC.
• Nhân hằng số (lãi kép, tăng trưởng dân số) → CSN.

Bước 2. Xác định $u_1$ (giá trị ban đầu) và $d$ hoặc $q$. Bước 3. Áp dụng công thức $u_n$ hoặc $S_n$ phù hợp. Bước 4. Tính giá trị + kiểm tra đơn vị / điều kiện thực tế.

Cho $u_p$ và $u_q$ ($p \neq q$). Tính công sai: $$d = \dfrac{u_q - u_p}{q - p}.$$ Lý do: $u_q - u_p = (q - p) d$ — khoảng cách chỉ số nhân với công sai. Vd: $u_5 = 13, u_{12} = 41$ → $d = \dfrac{41 - 13}{12 - 5} = 4$. Rồi tìm $u_1 = u_5 - 4 \cdot 4 = -3$. → Không cần lập 2 phương trình + giải hệ.

$$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}.$$ $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2 \quad \text{(tổng } n \text{ số lẻ đầu)}.$$ $$2 + 4 + \dots + 2n = n(n+1) \quad \text{(tổng } n \text{ số chẵn đầu)}.$$

Cho $u_p, u_q$ ($p \neq q$). Tính công bội: $$q^{q - p} = \dfrac{u_q}{u_p} \Rightarrow q = \sqrt[q-p]{\dfrac{u_q}{u_p}}.$$ Vd: $u_3 = 8, u_7 = 128$. $q^4 = 16 \Rightarrow q = \pm 2$ → loại / nhận tùy điều kiện đề. Cẩn thận: căn bậc chẵn → có 2 giá trị $q$. Phải kiểm tra dấu các số hạng để chọn đúng.

Số kỳ để vốn ban đầu gấp đôi với lãi suất $r$ (%): $$n \approx \dfrac{72}{r\%}.$$ Vd lãi 6%/năm → $\approx 12$ năm để gấp đôi vốn. Công thức xấp xỉ, nhanh cho ước lượng.