Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Góc lượng giác $(Ou, Ov)$ là góc tạo bởi tia $Ou$ quay tới tia $Ov$ theo 1 chiều (quy ước ngược chiều kim đồng hồ là dương, cùng chiều là âm). Hai góc lượng giác có cùng vị trí tia đầu + tia cuối hơn kém nhau $k \cdot 2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$): $(Ou, Ov) = \alpha + k 2\pi$.

Radian là đơn vị đo góc, $1$ radian là góc ở tâm chắn cung có độ dài = bán kính. Quan hệ: $\pi$ rad $= 180°$, tức: $$1° = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}, \quad 1 \text{ rad} = \dfrac{180°}{\pi} \approx 57.3°.$$ Đổi $\alpha°$ ra rad: $\alpha \cdot \dfrac{\pi}{180}$. Đổi $x$ rad ra độ: $x \cdot \dfrac{180}{\pi}$.

Đường tròn tâm $O$, bán kính 1, có chiều dương ngược chiều kim đồng hồ, có $A(1; 0)$ là gốc. Mỗi góc lượng giác $\alpha$ tương ứng với 1 điểm $M$ trên đường tròn sao cho $(OA, OM) = \alpha$. Toạ độ $M = (\cos\alpha; \sin\alpha)$.

Cho $M(\cos\alpha; \sin\alpha)$ trên đường tròn lượng giác:

• $\sin\alpha$ = tung độ của $M$, $\cos\alpha$ = hoành độ.
• $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (với $\cos\alpha \neq 0$).
• $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (với $\sin\alpha \neq 0$).

Tập giá trị: $\sin\alpha, \cos\alpha \in [-1; 1]$.

Đồ thị $y = \cos x$ là đồ thị $y = \sin x$ tịnh tiến sang trái $\dfrac{\pi}{2}$: $$\cos x = \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right).$$ Ngược lại: $\sin x = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$$ $$1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} \, (\cos\alpha \neq 0).$$ $$1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha} \, (\sin\alpha \neq 0).$$ $$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1.$$

$$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha, \quad \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha.$$ $$\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot\alpha, \quad \cot\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan\alpha.$$

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a.$$ $$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1.$$ $$\tan 2a = \dfrac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}.$$

$$\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}, \quad \cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}.$$ $$\tan^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{1 + \cos 2a}.$$

$$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha.$$ $$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha, \quad \cot(-\alpha) = -\cot\alpha.$$

$$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha.$$ $$\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha, \quad \cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha.$$

$$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha, \quad \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha.$$ $$\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot\alpha, \quad \cot\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\tan\alpha.$$

Tích → tổng: $\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]$. $\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$. $\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a-b) + \sin(a+b)]$. Tổng → tích: $\sin a + \sin b = 2 \sin\dfrac{a+b}{2} \cos\dfrac{a-b}{2}$. $\sin a - \sin b = 2 \cos\dfrac{a+b}{2} \sin\dfrac{a-b}{2}$. $\cos a + \cos b = 2 \cos\dfrac{a+b}{2} \cos\dfrac{a-b}{2}$. $\cos a - \cos b = -2 \sin\dfrac{a+b}{2} \sin\dfrac{a-b}{2}$.

$$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b.$$ $$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b.$$ $$\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}.$$

$$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha.$$ $$\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha, \quad \cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha.$$

Điều kiện: $|m| \leq 1$. Đặt $m = \cos \alpha$: $$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k 2\pi.$$ Trường hợp đặc biệt:

• $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
• $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2\pi$.
• $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k 2\pi$.

Mọi $m \in \mathbb{R}$ đều có nghiệm. Đặt $m = \cot\alpha$: $$\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi.$$ ĐKXĐ: $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi$.

Điều kiện: $|m| \leq 1$ (nếu $|m| > 1$ thì vô nghiệm). Đặt $m = \sin \alpha$: $$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k 2\pi \\ x = \pi - \alpha + k 2\pi \end{cases} \, (k \in \mathbb{Z}).$$ Trường hợp đặc biệt:

• $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$.
• $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k 2\pi$.
• $\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + k 2\pi$.

Mọi $m \in \mathbb{R}$ đều có nghiệm. Đặt $m = \tan\alpha$: $$\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi.$$ ĐKXĐ: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

Điều kiện có nghiệm: $a^2 + b^2 \geq c^2$. Cách giải: chia 2 vế cho $\sqrt{a^2 + b^2}$: $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ Đặt $\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$: $$\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \Rightarrow \text{pt cơ bản}.$$

Bước 1. Biến đổi đưa về dạng $\sin u = \sin v$, $\cos u = \cos v$, $\tan u = \tan v$, $\cot u = \cot v$. Bước 2. Áp dụng công thức nghiệm tương ứng. Bước 3. Giải các phương trình đại số $u = \dots$ cho biến ban đầu. Bước 4. Kiểm tra điều kiện xác định (nếu có).

Dùng các công thức biến đổi (tổng-tích, hạ bậc, nhân đôi) để đưa phương trình về dạng: $$A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ hoặc } B = 0.$$ Mỗi nhân tử là 1 phương trình lượng giác cơ bản → giải riêng.

Cách 1. Xét $\cos x = 0$ → thay vào kiểm tra. Nếu thoả thì có 1 họ nghiệm. Cách 2. Khi $\cos x \neq 0$: chia 2 vế cho $\cos^2 x$: $$a \tan^2 x + b \tan x + c = d (1 + \tan^2 x).$$ Đặt $t = \tan x$, quy về phương trình bậc 2 theo $t$.

Dạng: $a t^2 + b t + c = 0$ với $t \in \{\sin x, \cos x, \tan x, \cot x\}$. Bước 1. Đặt $t = $ hàm lượng giác đó. Điều kiện $t$:

• $t = \sin x$ hoặc $t = \cos x$: $-1 \leq t \leq 1$.
• $t = \tan x, \cot x$: $t \in \mathbb{R}$.

Bước 2. Giải phương trình bậc 2 theo $t$, loại $t$ ngoài miền. Bước 3. Trở lại biến cũ — phương trình lượng giác cơ bản. Vd: $2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0$. Đặt $t = \cos x \in [-1; 1]$: $t = 1$ hoặc $t = 1/2$.

Dạng: $a(\sin x + \cos x) + b \sin x \cos x + c = 0$. Bước 1. Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$, $|t| \leq \sqrt{2}$. Bước 2. $t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \dfrac{t^2 - 1}{2}$. Bước 3. Quy về phương trình bậc 2 theo $t$, giải rồi đối chiếu $|t| \leq \sqrt{2}$.

Với góc $\alpha$ lớn / âm: $\alpha = \alpha_0 + k \cdot 2\pi$ với $\alpha_0 \in [0; 2\pi)$, $k = \lfloor \alpha / (2\pi) \rfloor$. Khi đó $\sin\alpha = \sin\alpha_0$, $\cos\alpha = \cos\alpha_0$, ... → chỉ cần tính trên $\alpha_0$.

Cos đối: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Sin bù: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$. Phụ chéo (cung phụ): sin ↔ cos, tan ↔ cot. Hơn kém $\pi$: tan + cot không đổi (chu kỳ $\pi$); sin + cos đổi dấu.

Hàm $y = \sin(ax + b)$ tuần hoàn chu kỳ $T = \dfrac{2\pi}{|a|}$. Tương tự $y = \cos(ax + b)$: $T = \dfrac{2\pi}{|a|}$. Vd: $y = \sin 3x$ có $T = \dfrac{2\pi}{3}$. $y = \cos\dfrac{x}{2}$ có $T = 4\pi$.

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi),$$ với $\tan\varphi = \dfrac{b}{a}$ (nếu $a > 0$). → Tập giá trị: $\left[-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}\right]$. Vd: $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \pi/3)$ → max $= 2$, min $= -2$.

Với hàm chứa $\tan f(x)$: ĐKXĐ là $\cos f(x) \neq 0 \Leftrightarrow f(x) \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$. Với hàm chứa $\cot f(x)$: ĐKXĐ là $\sin f(x) \neq 0 \Leftrightarrow f(x) \neq k\pi$. → Giải bất phương trình $f(x) = \dots$ rồi loại các giá trị này khỏi $\mathbb{R}$.

$\sin x = -m = \sin(-\alpha)$ — đưa được về dạng $\sin u = \sin v$. $\cos x = -m = \cos(\pi - \alpha)$. $\sin x = \cos y = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - y\right)$ → cùng họ $\sin$. $\cos x = \sin y = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - y\right)$ → cùng họ $\cos$. Nguyên tắc: đưa về cùng 1 hàm $\sin$ hoặc $\cos$ ở 2 vế.

Mọi phương trình lượng giác cơ bản có vô số nghiệm — luôn ghi điều kiện $k \in \mathbb{Z}$. Khi bài yêu cầu nghiệm trong khoảng cụ thể (vd $[0; 2\pi]$): thay $k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots$ lần lượt để lấy các nghiệm thuộc khoảng đó.