Xác suất

Biến cố $A$ là một tập con của $\Omega$ — bao gồm các kết quả 'thuận lợi'.

• $A$ xảy ra khi kết quả của phép thử thuộc $A$.
• $A = \emptyset$: biến cố không thể.
• $A = \Omega$: biến cố chắc chắn.
• $n(A)$ = số phần tử của $A$ (số kết quả thuận lợi).

$A, B$ độc lập nếu việc xảy ra của 1 trong 2 không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia. Vd: gieo 2 lần xúc xắc — kết quả lần 1 + lần 2 độc lập. Vd: tung 1 đồng xu + rút 1 quân bài — 2 phép thử riêng độc lập.

Cho biến cố $A, B \subset \Omega$:

• Hợp $A \cup B$: 'A hoặc B' xảy ra.
• Giao $A \cap B$ (hoặc $AB$): 'A và B' đồng thời xảy ra.
• Đối $\overline{A} = \Omega \setminus A$: A không xảy ra.
• $A, B$ xung khắc (loại trừ nhau): $A \cap B = \emptyset$ — không thể cùng xảy ra.

Phép thử ngẫu nhiên là một hành động/thí nghiệm:

• Có thể có nhiều kết quả khác nhau.
• Không biết trước kết quả nào sẽ xảy ra.

Vd: tung 1 đồng xu, gieo 1 con xúc xắc, rút 1 quân bài.

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử, ký hiệu $\Omega$. $n(\Omega)$ = số phần tử của $\Omega$. Vd: tung 2 đồng xu → $\Omega = \{SS, SN, NS, NN\}$, $n(\Omega) = 4$.

Cho phép thử có $\Omega$ hữu hạn, các kết quả đồng khả năng. Xác suất của biến cố $A$: $$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}.$$ Tử = số kết quả thuận lợi, mẫu = tổng số kết quả.

Thực hiện phép thử $N$ lần, đếm số lần $A$ xảy ra = $n$: Tần suất $A$: $f_N(A) = \dfrac{n}{N}$. Khi $N \to \infty$, $f_N(A) \to P(A)$ — gọi là xác suất thống kê (định nghĩa thực nghiệm). → Dùng khi không thể tính $P(A)$ bằng đếm trực tiếp.

Nếu $A, B$ độc lập: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$ Vd: gieo 2 xúc xắc, $A$: 'lần 1 ra 6', $B$: 'lần 2 ra chẵn' → $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.

Hai biến cố $A, B$: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$ Nếu $A, B$ xung khắc ($A \cap B = \emptyset$): $$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$$ Tổng quát (3 biến cố): $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$.

$A_1, A_2, \dots, A_n$ đôi một độc lập: $$P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdots P(A_n).$$ Cẩn thận: 'đôi một độc lập' (mỗi cặp độc lập) mạnh hơn 'đồng độc lập' chỉ khi cần xét xác suất giao tổng quát.

Bước 1. Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính $n(\Omega)$ (dùng quy tắc đếm). Bước 2. Mô tả biến cố $A$ — các kết quả thuận lợi. Bước 3. Đếm $n(A)$. Bước 4. $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$. Mẹo: nếu khó đếm $n(A)$, hãy tính $n(\overline{A})$ rồi suy $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

'Hoặc' (có ít nhất 1 trong 2) → quy tắc cộng. 'Và' (cả 2 đồng thời) → quy tắc nhân (nếu độc lập), hoặc tính trực tiếp. Khi 'và' không độc lập: phải tính trực tiếp $n(A \cap B)$. Khi 'hoặc' với 2 biến cố không xung khắc: nhớ trừ $P(A \cap B)$.

Khi phép thử gồm nhiều bước (rút bài k lần, thử nghiệm liên tiếp): Bước 1. Vẽ cây xác suất — mỗi nhánh = 1 kết quả của bước. Bước 2. Mỗi đường đi từ gốc đến lá: nhân các xác suất trên đường đi (nếu các bước độc lập). Bước 3. Cộng các đường đi tương ứng với cùng 1 biến cố.

Tung 2 xúc xắc: cặp $(i; j)$ với $i, j \in \{1, \dots, 6\}$ → $n(\Omega) = 36$. Rút $k$ quân từ bộ 52: $C^k_{52}$ cách → tổ hợp. Sắp xếp $k$ phần tử khác nhau từ $n$: $A^k_n$ → chỉnh hợp. Quy tắc: 'không quan tâm thứ tự' → tổ hợp. 'Quan tâm thứ tự' → chỉnh hợp / hoán vị.

Khi bài có cụm 'ít nhất 1' / 'có thể có' / 'có ít nhất X' → tính qua biến cố đối:

• 'Ít nhất 1 bi đỏ' → đối = 'không có bi đỏ nào'.
• 'Có ít nhất 2 mặt sáu' → đối = '0 hoặc 1 mặt sáu'.

→ Tính $P(\overline{A})$ rồi $P(A) = 1 - P(\overline{A})$. Thường đơn giản hơn nhiều.

Khi nói 'hoặc A hoặc B': hỏi 'A và B có thể cùng xảy ra không?'

• Không thể → xung khắc → $P(A) + P(B)$.
• Có thể → không xung khắc → phải trừ $P(A \cap B)$.

Vd: rút 1 quân từ bộ — $A$: 'quân cơ', $B$: 'quân Át' → KHÔNG xung khắc (Át cơ thuộc cả 2).