Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Cho 2 điểm cố định $F_1, F_2$ với $F_1 F_2 = 2c$ và số $a > c > 0$. Elip $(E)$ là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng thoả: $$MF_1 + MF_2 = 2 a.$$ $F_1, F_2$: tiêu điểm. $F_1 F_2 = 2c$: tiêu cự.

Cho 2 điểm cố định $F_1, F_2$ với $F_1 F_2 = 2c$ và số $0 < a < c$. Hypebol $(H)$ là tập hợp các điểm $M$ thoả: $$|M F_1 - M F_2| = 2 a.$$ $F_1, F_2$: tiêu điểm.

Cho điểm cố định $F$ và đường thẳng $\Delta$ không qua $F$. Parabol $(P)$ là tập hợp các điểm $M$ thoả: $$M F = d(M, \Delta).$$ $F$: tiêu điểm. $\Delta$: đường chuẩn. Khoảng cách $d(F, \Delta) = p > 0$ — tham số tiêu.

Cho $\Delta_1, \Delta_2$ có VTPT $\vec{n_1} = (a_1; b_1), \vec{n_2} = (a_2; b_2)$: $$\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}.$$ Góc giữa 2 đường thẳng $\in [0°; 90°]$.

Với $a, b \neq 0$: $$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b}.$$ Suy ra từ phương trình tham số bằng cách khử $t$.

Cho $\Delta: a x + b y + c = 0$, điểm $M_0(x_0; y_0)$: $$d(M_0, \Delta) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

$\Delta$ qua $M(x_0; y_0)$ có VTPT $\vec{n} = (a; b)$: $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \Leftrightarrow a x + b y + c = 0,$$ với $c = -(a x_0 + b y_0)$. Điều kiện: $(a, b) \neq (0, 0)$.

Cho $\Delta_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$, $\Delta_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$:

• $\Delta_1 \parallel \Delta_2 \Leftrightarrow a_1 b_2 = a_2 b_1$ và $a_1 c_2 \neq a_2 c_1$ (hoặc tương đương).
• $\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$.

$\Delta$ qua $M(x_0; y_0)$ có VTCP $\vec{u} = (a; b)$: $$\begin{cases} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \end{cases}, \, t \in \mathbb{R}.$$

$$x^2 + y^2 - 2 a x - 2 b y + c = 0.$$ Là phương trình đường tròn khi $a^2 + b^2 - c > 0$. Khi đó: tâm $I(a; b)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

Đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.$$

Cho $(C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ và điểm $M_0(x_0; y_0) \in (C)$. Tiếp tuyến tại $M_0$: $$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = R^2.$$ Hoặc: vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến = $\vec{IM_0}$.

Chọn hệ trục sao cho $F_1(-c; 0), F_2(c; 0)$, đặt $b^2 = a^2 - c^2$: $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \quad (a > b > 0).$$ Quan hệ: $a^2 = b^2 + c^2$.

Với $M(x; y)$ thuộc elip: $$M F_1 = a + \dfrac{c}{a} x, \quad M F_2 = a - \dfrac{c}{a} x.$$

Chọn $F_1(-c; 0), F_2(c; 0)$, đặt $b^2 = c^2 - a^2$: $$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \quad (a, b > 0).$$ Quan hệ: $c^2 = a^2 + b^2$.

$M(x; y)$ thuộc hypebol:

• Nhánh phải ($x > 0$): $M F_1 = a + \dfrac{c}{a} x$, $M F_2 = -a + \dfrac{c}{a} x$.
• Nhánh trái ($x < 0$): $M F_1 = -a - \dfrac{c}{a} x$, $M F_2 = a - \dfrac{c}{a} x$.

Chọn hệ trục sao cho $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right)$, $\Delta: x = -\dfrac{p}{2}$: $$y^2 = 2 p x \, (p > 0).$$

$M(x; y) \in (P)$: $$M F = x + \dfrac{p}{2}.$$ (Bằng khoảng cách từ $M$ đến đường chuẩn.)

1. Qua 1 điểm + 1 VTPT (hoặc VTCP) → phương trình tổng quát. 2. Qua 2 điểm $A, B$: VTCP $\vec{AB}$. 3. Qua $M$ song song $\Delta$: dùng cùng VTPT/VTCP với $\Delta$. 4. Qua $M$ vuông góc $\Delta$: VTPT của ta = VTCP của $\Delta$. 5. Trung trực $AB$: qua trung điểm $I$ của $AB$, VTPT $\vec{AB}$.

Cho điểm $A$ ngoài đường tròn $(C)$ tâm $I$ bán kính $R$: Bước 1. Tiếp tuyến qua $A$ có dạng $\Delta: \alpha(x - x_A) + \beta(y - y_A) = 0$. Bước 2. Điều kiện tiếp xúc: $d(I, \Delta) = R$. Bước 3. Giải phương trình theo $\alpha, \beta$ (thường $\alpha^2 + \beta^2 = 1$) → 2 tiếp tuyến.

1. Biết tâm + bán kính: thay trực tiếp. 2. Biết tâm + 1 điểm trên đường tròn: $R = $ khoảng cách tâm đến điểm đó. 3. Biết 3 điểm: lập hệ 3 phương trình theo $(a, b, c)$, giải. 4. Tâm + tiếp xúc đường thẳng $\Delta$: $R = d(I, \Delta)$. 5. Đi qua 2 điểm + tâm trên đường thẳng cho trước: tâm = giao của trung trực 2 điểm với đường thẳng đó.

$y = k x + m$: $k$ = hệ số góc.

• $\Delta_1 \parallel \Delta_2 \Leftrightarrow k_1 = k_2$.
• $\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2 = -1$ (cả 2 đều có hệ số góc).

Cẩn thận: đường thẳng đứng $x = c$ không có hệ số góc.

Đưa $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ về chính tắc: $\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 = \dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F$. → Tâm $I\left(-\dfrac{D}{2}; -\dfrac{E}{2}\right)$, bán kính $R = \sqrt{\dfrac{D^2 + E^2}{4} - F}$ (nếu vế phải dương).