Thống kê

Sắp mẫu theo thứ tự không giảm $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(N)}$:

• $N$ lẻ: $M_e = x_{(\dfrac{N+1}{2})}$.
• $N$ chẵn: $M_e = \dfrac{x_{(N/2)} + x_{(N/2 + 1)}}{2}$.

→ Trung vị ít chịu ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai (outliers).

Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong mẫu.

• Mẫu có thể có 1 mốt (đơn mốt), 2 mốt (lưỡng mốt), hoặc nhiều mốt.
• Có thể không có mốt nếu mọi giá trị xuất hiện cùng số lần.

Mốt thường dùng cho dữ liệu định tính (màu, loại) hoặc dữ liệu rời rạc.

Chia mẫu đã sắp xếp thành 4 phần bằng nhau (mỗi phần ≈ 25% dữ liệu):

• $Q_2 = M_e$: trung vị.
• $Q_1$: trung vị của nửa dưới (các phần tử trước $Q_2$).
• $Q_3$: trung vị của nửa trên (các phần tử sau $Q_2$).

Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$.

$$\Delta_Q = Q_3 - Q_1.$$ Đo độ phân tán của 50% dữ liệu giữa — không bị ảnh hưởng bởi 25% nhỏ nhất + 25% lớn nhất. Ổn định hơn $R$ và $s$ khi có ngoại lai.

Giá trị $x$ là ngoại lai nếu: $$x < Q_1 - 1.5 \Delta_Q \quad \text{hoặc} \quad x > Q_3 + 1.5 \Delta_Q.$$ Khi mẫu có outliers → ưu tiên dùng trung vị + IQR thay cho mean + variance.

$$R = x_{\max} - x_{\min}.$$ Đo phạm vi của mẫu. Nhược điểm: nhạy với 2 giá trị cực.

Tần số tích lũy đến nhóm $i$: $$N_i = n_1 + n_2 + \dots + n_i.$$ Cho biết có bao nhiêu phần tử $\leq$ đầu phải của nhóm $i$. Dùng để tìm trung vị, tứ phân vị cho mẫu ghép nhóm.

Cho mẫu số liệu kích thước $N$:

• Tần số $n_i$: số lần xuất hiện của giá trị $x_i$ (hoặc số phần tử trong nhóm $i$).
• Tần số tương đối: $f_i = \dfrac{n_i}{N}$, thường tính theo %.
• $\sum n_i = N, \sum f_i = 1$.

Giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$ là trung điểm: $$x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}.$$ Dùng khi tính trung bình + phương sai cho mẫu ghép nhóm — vì không có giá trị thật của từng phần tử.

Mẫu $x_1, x_2, \dots, x_N$: $$\overline{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i.$$ Nếu cho dưới dạng bảng tần số: $\overline{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$ ($n_i$ = tần số của $x_i$).

$$s = \sqrt{s^2}.$$ Cùng đơn vị với số liệu — dễ giải thích hơn $s^2$. $s$ nhỏ → dữ liệu tập trung gần $\overline{x}$; $s$ lớn → dữ liệu phân tán.

$$s^2 = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2.$$ Nếu cho bằng tần số: $$s^2 = \dfrac{1}{N} \sum n_i (x_i - \overline{x})^2.$$ Công thức rút gọn: $$s^2 = \overline{x^2} - \overline{x}^2 = \dfrac{\sum x_i^2}{N} - \overline{x}^2.$$

• Trung bình: mẫu đối xứng, không có giá trị ngoại lai → đại diện chuẩn.
• Trung vị: mẫu có ngoại lai, phân bố lệch → ổn định hơn.
• Mốt: dữ liệu định tính (categorical) hoặc khi cần biết 'giá trị phổ biến nhất'.

Nguyên tắc: mean nhạy với outliers, median ổn định.

Khi mẫu lớn / liên tục, chia thành các nhóm $[a_i; a_{i+1})$: Bước 1. Xác định $R = a_{\max} - a_{\min}$. Bước 2. Chọn số nhóm $k$ (thường 5-10) và độ rộng $L = R / k$. Bước 3. Lập bảng các nhóm $[a_i; a_{i+1})$ với độ rộng đều. Bước 4. Đếm tần số mỗi nhóm. Lưu ý: dùng nửa khoảng để mỗi giá trị thuộc đúng 1 nhóm.

Trước khi tính median, quartiles: bắt buộc sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần. Trước khi tìm mode: lập bảng tần số từng giá trị. → Nhiều bài sai vì quên bước sắp xếp.

Thay vì tính $(x_i - \overline{x})^2$ cho từng giá trị (dễ sai số): $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2}{N} - \overline{x}^2$. → Chỉ cần tính $\sum x_i$ và $\sum x_i^2$. Phương sai có thể tính trong 1 lần quét dữ liệu — hiệu quả hơn.

• Mẫu nhỏ ($N < 30$): ít nhóm (3-5), tránh nhóm có 0 phần tử.
• Mẫu vừa ($30 \leq N \leq 100$): 5-10 nhóm.
• Mẫu lớn ($N > 100$): 8-15 nhóm.

Quy tắc Sturges: $k \approx 1 + \log_2 N$. Mục tiêu: phân bố thể hiện rõ xu hướng, không quá thưa hay quá dày.