Vectơ

Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Vectơ $\vec{AB}$ có:

• Điểm gốc $A$, điểm ngọn $B$.
• Hướng từ $A$ đến $B$.
• Độ dài (môđun) $|\vec{AB}| = AB$.

Vectơ còn ký hiệu $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}, \dots$

$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow$: 1. $\vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng. 2. $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Vectơ đối của $\vec{a}$ là vectơ $-\vec{a}$ thoả: 1. Ngược hướng với $\vec{a}$. 2. $|-\vec{a}| = |\vec{a}|$. $\vec{AB} = -\vec{BA}$ — đảo điểm gốc ↔ ngọn.

Vectơ-không $\vec{0}$ là vectơ có điểm gốc trùng điểm ngọn: $$\vec{AA} = \vec{0}, \quad |\vec{0}| = 0.$$ Vectơ-không cùng phương + cùng hướng với mọi vectơ.

Cho 3 điểm $A, B, C$: $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$$ Gọi là quy tắc tam giác (3 điểm). Áp dụng cho tổng nhiều vectơ: $\vec{A_1 A_2} + \vec{A_2 A_3} + \dots + \vec{A_{n-1} A_n} = \vec{A_1 A_n}$.

Nếu $ABCD$ là hình bình hành: $$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}.$$ Tức 2 cạnh xuất phát từ 1 đỉnh, tổng = đường chéo từ đỉnh đó.

Cho $k \in \mathbb{R}$ và $\vec{a}$. Tích $k \vec{a}$ là vectơ:

• Cùng hướng $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng nếu $k < 0$; bằng $\vec{0}$ nếu $k = 0$ hoặc $\vec{a} = \vec{0}$.
• $|k \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

Mặt phẳng $Oxy$ có:

• 2 trục vuông góc: $Ox$ (trục hoành), $Oy$ (trục tung).
• 2 vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}$: $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$, $\vec{i} \perp \vec{j}$.
• $(\vec{i}, \vec{j})$ là cơ sở chuẩn của mặt phẳng vectơ.

Điểm $M$ trong $Oxy$ có toạ độ $(x; y)$ khi $\vec{OM} = (x; y)$, tức $\vec{OM} = x \vec{i} + y \vec{j}$. Ký hiệu: $M(x; y)$. $x$ = hoành độ, $y$ = tung độ.

Vectơ $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j}$ có toạ độ $(x; y)$: $$\vec{a} = (x; y).$$ Vectơ đơn vị: $\vec{i} = (1; 0)$, $\vec{j} = (0; 1)$. Vectơ-không: $\vec{0} = (0; 0)$.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}).$$ Quy ước: nếu $\vec{a}$ hoặc $\vec{b}$ = $\vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ là số thực (không phải vectơ).

Cho $k, l \in \mathbb{R}$ và $\vec{a}, \vec{b}$:

• $k(l \vec{a}) = (kl) \vec{a}$.
• $(k + l) \vec{a} = k \vec{a} + l \vec{a}$.
• $k(\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$.
• $1 \vec{a} = \vec{a}$, $(-1) \vec{a} = -\vec{a}$, $0 \vec{a} = \vec{0}$.

$\vec{a} = (x_1; y_1)$, $\vec{b} = (x_2; y_2)$: $$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \end{cases}.$$

$$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}).$$ Quy tắc trừ: $$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}.$$ (Cùng điểm gốc → trừ = vectơ nối 2 ngọn, hướng từ ngọn vế trừ đến ngọn vế bị trừ.)

Trung điểm $I$ của $AB$: $$\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}, \quad \vec{MA} + \vec{MB} = 2 \vec{MI} \, \forall M.$$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}, \quad \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3 \vec{MG} \, \forall M.$$

Cho 2 vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương. Với mọi $\vec{c}$ tồn tại duy nhất cặp số $(m, n)$ sao cho: $$\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}.$$ Cặp $(\vec{a}, \vec{b})$ gọi là cơ sở của mặt phẳng vectơ.

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại $k$ sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$. Hệ quả: $A, B, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{AB} = k \vec{AC}$ (với $k$ duy nhất).

Trung điểm $I$ của $AB$: $$x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}, \quad y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}.$$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $$x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}.$$

Cho $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$: $$\vec{AB} = (x_B - x_A; \, y_B - y_A).$$ (Toạ độ của vectơ = toạ độ điểm ngọn trừ toạ độ điểm gốc.)

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1), \vec{b} = (x_2; y_2)$: $$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; \, y_1 + y_2).$$ $$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; \, y_1 - y_2).$$

$$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}.$$ Khoảng cách 2 điểm: $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

$\vec{a} = (x_1; y_1), \vec{b} = (x_2; y_2)$ cùng phương $\Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$. Hệ quả: $A, B, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) = 0$.

$$k \vec{a} = k (x_1; y_1) = (k x_1; \, k y_1).$$

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}.$$ Góc 2 vectơ $\in [0°; 180°]$.

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1), \vec{b} = (x_2; y_2)$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2.$$

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0.$$ Qua toạ độ: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.

$$(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b}^2.$$ $$(\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b}^2.$$ $$\vec{a}^2 - \vec{b}^2 = (\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + \vec{b}).$$ → Tương tự đại số nhưng dùng bình phương vô hướng = bình phương độ dài.

Chứng minh đẳng thức vectơ: dùng quy tắc chèn điểm. Vd: chứng minh $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$ → chèn $C$ vào giữa $A$ và $B$. Vd: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$ → coi $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$ rồi chuyển vế. Mẹo: chọn điểm chèn = điểm chung của các vectơ cần biến đổi.

Cho $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương; phân tích $\vec{c}$ thành $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$: Bước 1. Dựng / xác định hình bình hành có 2 cạnh song song $\vec{a}, \vec{b}$ và đường chéo song song $\vec{c}$. Bước 2. Tính tỉ lệ cạnh / chiều dài → tìm $m, n$. Bước 3. Kết quả: $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$.

Cách: chứng minh $\vec{AB} = k \vec{AC}$ với $k \in \mathbb{R}$. Bước 1. Phân tích $\vec{AB}, \vec{AC}$ theo 2 vectơ cơ sở (nếu có). Bước 2. Tính tỉ lệ giữa các hệ số → tìm $k$. Bước 3. Kết luận $\vec{AB} = k \vec{AC} \Rightarrow A, B, C$ thẳng hàng.

Bước 1. Gắn hệ toạ độ $Oxy$ — chọn gốc, trục cho thuận tiện (đối xứng / vuông góc tự nhiên). Bước 2. Tính toạ độ các điểm và vectơ liên quan. Bước 3. Áp dụng các công thức toạ độ:

• Cộng/trừ/nhân số.
• Độ dài, khoảng cách, cùng phương, thẳng hàng.

Bước 4. Kết luận theo ngôn ngữ hình học.

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AH,$$ với $H$ là hình chiếu của $C$ lên đường thẳng $AB$ (dấu + nếu $H$ về phía $B$ so với $A$, dấu - nếu ngược lại). Hữu ích để tính các bài toán hình học phẳng có hình chiếu.

$\vec{A_1 A_2} + \vec{A_2 A_3} + \dots + \vec{A_n A_1} = \vec{A_1 A_1} = \vec{0}$. → Hữu ích khi cần chứng minh tổng nhiều vectơ = $\vec{0}$: tổ chức thành chu trình khép kín.

Khi 2 vế đẳng thức cùng phân tích theo $(\vec{a}, \vec{b})$ không cùng phương: $m_1 \vec{a} + n_1 \vec{b} = m_2 \vec{a} + n_2 \vec{b} \Leftrightarrow m_1 = m_2 \text{ và } n_1 = n_2$. → Phương pháp đồng nhất hệ số — đưa bài vectơ về hệ phương trình đại số.

$AB^2 = |\vec{AB}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$. Khi biểu diễn $\vec{AB}$ qua các vectơ khác: $\vec{AB} = \vec{a} - \vec{b} \Rightarrow AB^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\vec{b} + |\vec{b}|^2$. → Tránh tính từng toạ độ riêng → nhanh hơn.