Hệ thức lượng trong tam giác

Trên đường tròn lượng giác (bán kính 1), cho điểm $M$ trên nửa đường tròn trên sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khi đó:

• $\sin\alpha$ = tung độ của $M$.
• $\cos\alpha$ = hoành độ của $M$.
• $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ($\cos\alpha \neq 0$, $\alpha \neq 90°$).
• $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ($\sin\alpha \neq 0$, $\alpha \neq 0°, 180°$).

Giải tam giác: tính tất cả các yếu tố còn lại (3 cạnh, 3 góc) khi đã biết 1 số yếu tố cho trước. Quy ước: tổng 3 góc $A + B + C = 180°$. Tam giác xác định khi biết:

• 3 cạnh (SSS) — định lý côsin.
• 2 cạnh + góc xen giữa (SAS) — định lý côsin.
• 2 góc + 1 cạnh (ASA, AAS) — định lý sin.
• 2 cạnh + góc đối 1 cạnh (SSA) — định lý sin (có thể 0, 1 hoặc 2 nghiệm).

Trong tam giác $ABC$ với $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A.$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B.$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos C.$$ Trường hợp đặc biệt: $A = 90°$ → $\cos A = 0$ → $a^2 = b^2 + c^2$ (Pythagore).

Trong tam giác $ABC$ với độ dài cạnh $a = BC, b = CA, c = AB$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$: $$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R.$$

Với $\alpha \in [0°; 180°]$:

• $\sin\alpha \geq 0$ (luôn không âm).
• $\cos\alpha > 0$ nếu $\alpha < 90°$; $\cos\alpha < 0$ nếu $\alpha > 90°$.
• $\tan\alpha, \cot\alpha$ cùng dấu với $\cos\alpha$.

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$$ $$1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}.$$ $$1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}.$$ $$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1.$$

Với $\alpha \in (0°; 180°)$: $$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha.$$ $$\tan(180° - \alpha) = -\tan\alpha, \quad \cot(180° - \alpha) = -\cot\alpha.$$

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c}.$$ $$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a c}.$$ $$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b}.$$

$$a = 2R \sin A, \quad b = 2R \sin B, \quad c = 2R \sin C.$$ $$\sin A = \dfrac{a}{2R}, \quad \sin B = \dfrac{b}{2R}, \quad \sin C = \dfrac{c}{2R}.$$ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $$R = \dfrac{a}{2 \sin A} = \dfrac{b}{2 \sin B} = \dfrac{c}{2 \sin C}.$$

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h_c.$$ $h_a$ = chiều cao ứng với cạnh $a$, ...

$$S = \dfrac{a b c}{4 R}.$$ Có thể suy ngược: $R = \dfrac{a b c}{4 S}$.

Đặt nửa chu vi $p = \dfrac{a + b + c}{2}$: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.$$ Dùng khi chỉ biết 3 cạnh.

$$S = p \cdot r,$$ với $p$ = nửa chu vi, $r$ = bán kính đường tròn nội tiếp. Suy ra: $r = \dfrac{S}{p}$.

$$S = \dfrac{1}{2} a b \sin C = \dfrac{1}{2} b c \sin A = \dfrac{1}{2} a c \sin B.$$ Áp dụng nhanh khi biết 2 cạnh + góc giữa.

Dùng khi:

• Biết 3 cạnh → tính các góc qua công thức cos.
• Biết 2 cạnh và góc xen giữa → tính cạnh thứ 3.
• Khi định lý sin không áp dụng (vì không có cặp cạnh-góc đối diện đã biết đủ).

Dùng khi biết các bộ dữ kiện:

• Cạnh đối diện - Góc đối diện - Cạnh hoặc Góc khác: tìm phần còn lại.

Vd: biết $a, A, B$ → $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$.

• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.
• Đổi giữa độ dài cạnh và sin góc đối diện.

Cho $A, B, c$. Cần tìm $C, a, b$: Bước 1. $C = 180° - A - B$. Bước 2. Định lý sin: $a = \dfrac{c \sin A}{\sin C}$, $b = \dfrac{c \sin B}{\sin C}$.

Cho $b, c, A$. Cần tìm $a, B, C$: Bước 1. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ → $a$. Bước 2. $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ → $B$ (chọn $B$ nhọn vì $B < 180° - A$). Bước 3. $C = 180° - A - B$.

Bước 1. Dùng định lý côsin tính $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ → $A$. Bước 2. Tương tự cho $\cos B$ → $B$. Bước 3. $C = 180° - A - B$.

Với góc tù $\alpha > 90°$ chưa quen: đổi sang $180° - \alpha$ là góc nhọn → tính dễ hơn. Vd: $\sin 120° = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. $\cos 150° = -\cos 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Từ $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c}$:

• $\cos A > 0 \Leftrightarrow b^2 + c^2 > a^2$: góc $A$ nhọn.
• $\cos A = 0 \Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$: góc $A$ = $90°$ (Pythagore).
• $\cos A < 0 \Leftrightarrow b^2 + c^2 < a^2$: góc $A$ tù.

→ Chỉ cần so $a^2$ với $b^2 + c^2$ là biết tính chất góc.

Mỗi cặp cạnh-góc đối diện cùng cho ra $2R$ — chỉ cần biết 1 cặp là biết $R$ luôn. Vd: tam giác đều cạnh $a$, $R = \dfrac{a}{2 \sin 60°} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Vd: tam giác vuông cân cạnh huyền $a$: $R = a/2$ (góc đối = $90°$, sin = 1).

Cho $A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C)$: $$S = \dfrac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|.$$ → Không cần tính độ dài cạnh, chỉ cần toạ độ.

$R = \dfrac{a}{2 \sin A}$ — chia $2\sin A$, KHÔNG phải nhân. Lỗi phổ biến: nhớ thành $R = a \cdot \sin A$ (sai!). Mẹo nhớ: vẽ tam giác vuông trong đường tròn → cạnh huyền là đường kính $2R$ → $\sin A = \dfrac{a}{2R} \Rightarrow R = \dfrac{a}{2 \sin A}$. Đặc biệt $A = 90°$: $\sin A = 1 \Rightarrow R = a/2$ (bán kính = nửa cạnh huyền), khớp hệ quả Thales.

Cho $a, b, A$ (cạnh $a$ đối góc $A$, cạnh $b$ không đối $A$): Tính $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$:

• $\sin B > 1$: vô nghiệm.
• $\sin B = 1$: $B = 90°$ — duy nhất.
• $\sin B < 1$: 2 giá trị $B$ và $180° - B$.

+ Nếu $A + B < 180°$ → $B$ hợp lệ. + Nếu $A + (180° - B) < 180°$ → $180° - B$ cũng hợp lệ. → Cần kiểm tra cả 2 trường hợp.