Hàm số bậc hai. Đồ thị

Cho $D \subset \mathbb{R}, D \neq \emptyset$. Hàm số $f: D \to \mathbb{R}$ là quy tắc gán mỗi $x \in D$ với duy nhất một số $y = f(x) \in \mathbb{R}$.

• $D$: tập xác định (TXĐ).
• $T = \{f(x) \mid x \in D\}$: tập giá trị.

Cho $f$ có TXĐ $D$ đối xứng qua 0 (tức $\forall x \in D, -x \in D$):

• $f$ chẵn: $f(-x) = f(x)$. Đồ thị đối xứng qua $Oy$.
• $f$ lẻ: $f(-x) = -f(x)$. Đồ thị đối xứng qua $O$.

Cho $f$ xác định trên $K$:

• Đồng biến trên $K$: $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
• Nghịch biến: $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

$$y = a x^2 + b x + c, \quad (a \neq 0).$$ TXĐ: $\mathbb{R}$. Đồ thị: parabol.

Cho $f(x) = a x^2 + b x + c$ ($a \neq 0$), $\Delta = b^2 - 4 a c$:

• $\Delta < 0$: $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x$.
• $\Delta = 0$: $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x \neq -\dfrac{b}{2a}$; $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$.
• $\Delta > 0$: gọi $x_1 < x_2$ là 2 nghiệm.

+ $f(x)$ trái dấu $a$ khi $x \in (x_1; x_2)$. + $f(x)$ cùng dấu $a$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$.

Đặt $x_I = -\dfrac{b}{2 a}$: $a > 0$ (parabol mở lên):

• Nghịch biến trên $(-\infty; x_I)$.
• Đồng biến trên $(x_I; +\infty)$.
• $y$ đạt GTNN tại $x_I$, giá trị $y_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4 a}$.

$a < 0$ (parabol mở xuống):

• Đồng biến trên $(-\infty; x_I)$.
• Nghịch biến trên $(x_I; +\infty)$.
• $y$ đạt GTLN tại $x_I$.

Đồ thị $y = a x^2 + b x + c = a(x - x_I)^2 + y_I$ thu được từ $y = a x^2$ bằng:

• Tịnh tiến sang phải $x_I$ đơn vị (nếu $x_I > 0$) hoặc sang trái $|x_I|$ (nếu $x_I < 0$).
• Sau đó tịnh tiến lên $y_I$ (nếu $y_I > 0$) hoặc xuống $|y_I|$ (nếu $y_I < 0$).

• Dạng đỉnh: $y = a (x - x_I)^2 + y_I$ với $I(x_I; y_I)$.
• Dạng nhân tử (khi $\Delta \geq 0$): $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ với $x_1, x_2$ là nghiệm.
• Dạng tổng quát: $y = a x^2 + b x + c$.

→ Có thể chuyển đổi giữa 3 dạng tuỳ bài toán.

• Giao $Oy$: cho $x = 0 \Rightarrow y = c$. Điểm $(0; c)$.
• Giao $Ox$: cho $y = 0$, giải phương trình bậc 2:

+ $\Delta > 0$: 2 giao điểm $x_1, x_2$. + $\Delta = 0$: tiếp xúc tại $x = -\dfrac{b}{2a}$. + $\Delta < 0$: không cắt $Ox$.

Đặt $\Delta = b^2 - 4 a c$. Đỉnh: $$I\left(-\dfrac{b}{2 a}; \, -\dfrac{\Delta}{4 a}\right).$$ Trục đối xứng: $x = -\dfrac{b}{2 a}$.

$$f(x) > 0 \, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}.$$ $$f(x) < 0 \, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}.$$ $$f(x) \geq 0 \, \forall x \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}.$$ $$f(x) \leq 0 \, \forall x \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}.$$

TXĐ = các giá trị $x$ làm biểu thức $f(x)$ có nghĩa. Điều kiện cho các dạng phổ biến:

• $\sqrt{u(x)}$ (căn bậc chẵn): $u(x) \geq 0$.
• $\dfrac{1}{u(x)}$: $u(x) \neq 0$.
• $\dfrac{1}{\sqrt{u(x)}}$: $u(x) > 0$.
• $\log u(x)$: $u(x) > 0$.
• $\tan u(x)$: $u(x) \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

Bước: lập + giải hệ các điều kiện → TXĐ.

Cách 1 — Định nghĩa: Lấy $x_1, x_2 \in K$ với $x_1 < x_2$. Xét dấu của $f(x_2) - f(x_1)$:

• Dương → đồng biến. Âm → nghịch biến.

Cách 2 — Tỉ số biến thiên: $T = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. $T > 0 \forall$ → đồng biến. Cách 3 — Đạo hàm (lớp 11, 12): $f'(x) > 0$ trên $K$ → đồng biến.

Bước 1. Xác định toạ độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$. Bước 2. Vẽ trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$. Bước 3. Tìm giao với $Oy$: điểm $(0; c)$. Bước 4. Tìm giao với $Ox$ (nếu có): nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$. Bước 5. Đối xứng các điểm đã có qua trục đối xứng → thêm điểm phụ. Bước 6. Nối thành parabol mở lên ($a > 0$) hoặc xuống ($a < 0$).

Thường có 3 dạng dữ kiện: 1. Biết 3 điểm: thay 3 toạ độ → hệ 3 phương trình theo $(a, b, c)$. 2. Biết đỉnh $I$ + 1 điểm: dùng dạng $y = a(x - x_I)^2 + y_I$, thay điểm → tìm $a$. 3. Biết giao với $Ox$ + 1 điểm: dùng dạng $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, thay điểm → tìm $a$.

Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, giải $f(x) > 0$ (hoặc $<, \leq, \geq$): Bước 1. Tính $\Delta$. Bước 2. Xét dấu dựa trên định lý:

• $\Delta < 0$: $f(x)$ cùng dấu $a \forall x$.
• $\Delta = 0$: cùng dấu $a$ trừ điểm $-b/2a$.
• $\Delta > 0$: lập bảng xét dấu với 2 nghiệm $x_1, x_2$.

Bước 3. Đọc nghiệm theo yêu cầu.

Với $a > 0, x_1 < x_2$:

$x$	$-\infty$	$x_1$	$x_2$	$+\infty$
$f(x)$	$+$	$0 \, -$	$0 \, +$

Nguyên tắc: trong trái, ngoài cùng với $a$.

Bước 1: TXĐ có đối xứng qua 0 không? Nếu KHÔNG → không chẵn, không lẻ. Bước 2: Tính $f(-x)$ và so:

• $f(-x) = f(x)$: chẵn.
• $f(-x) = -f(x)$: lẻ.
• Cả 2 đều sai: không chẵn cũng không lẻ.

Trên đoạn $[m; n]$, GTLN-GTNN của $f(x) = ax^2 + bx + c$ đạt tại 1 trong 3 vị trí:

• Đầu mút $x = m, x = n$.
• Đỉnh $x = -\dfrac{b}{2a}$ (nếu nằm trong $[m; n]$).

→ Tính $f$ tại 3 điểm này, so sánh → GTLN/GTNN.

Khi bài cho đỉnh hoặc trục đối xứng: luôn dùng dạng đỉnh $y = a(x - x_I)^2 + y_I$ — chỉ còn 1 ẩn số $a$, dễ tìm hơn dạng $ax^2 + bx + c$ (3 ẩn). Sau khi tìm $a$, có thể khai triển lại nếu đề yêu cầu dạng tổng quát.

Đưa $f(x) = a x^2 + b x + c$ về dạng $a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}$. Bình phương luôn $\geq 0$ → dấu của $f$ phụ thuộc dấu của $a$ và $-\dfrac{\Delta}{4a}$. → Cách nhanh để kiểm tra 'luôn dương' / 'luôn âm'.