Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn $x, y$ có dạng: $$a x + b y + c > 0,$$ (hoặc $<, \geq, \leq$), với $a^2 + b^2 > 0$. Nghiệm là cặp $(x_0; y_0)$ thoả bất phương trình. Tập nghiệm = tập tất cả các nghiệm.

Tìm $(x; y)$ thuộc miền $D$ (xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính) sao cho hàm tuyến tính $F = \alpha x + \beta y$ đạt GTLN hoặc GTNN. Ứng dụng: tối ưu sản xuất (lợi nhuận tối đa, chi phí tối thiểu) dưới các ràng buộc tài nguyên.

Hệ gồm 2 hay nhiều bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: $$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 \geq 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 \geq 0 \\ \vdots \end{cases}.$$ Tập nghiệm = giao của tập nghiệm các bất phương trình thành phần.

Trên miền $D$ là đa giác lồi (bounded), GTLN và GTNN của $F = \alpha x + \beta y$ đạt tại đỉnh của đa giác. → Chỉ cần tính $F$ tại các đỉnh, so sánh → tìm max/min.

Tập nghiệm của $a x + b y + c > 0$ là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng $ax + by + c = 0$ (không kể đường thẳng). Tập nghiệm của $\geq$ bao gồm cả đường thẳng (vẽ nét liền). Bất phương trình ngặt $>, <$ → biên không thuộc tập nghiệm (vẽ nét đứt).

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: ax + by + c = 0$ (nét đứt nếu $>, <$; nét liền nếu $\geq, \leq$). Bước 2. Chọn 1 điểm thử $M$ không thuộc $d$, thường $O(0; 0)$ nếu $c \neq 0$. Bước 3. Thay toạ độ $M$ vào bất phương trình:

• Đúng → tô nửa mặt phẳng chứa $M$.
• Sai → tô nửa mặt phẳng KHÔNG chứa $M$.

Bước 4. Phần tô = miền nghiệm.

Cho điểm $M(x_0; y_0)$ và bất phương trình $ax + by + c \, \square \, 0$ ($\square \in \{>, <, \geq, \leq\}$): Bước 1. Thay toạ độ điểm: tính $T = a x_0 + b y_0 + c$. Bước 2. So sánh $T$ với 0 theo dấu $\square$:

• $T \, \square \, 0$ đúng → $M$ thuộc miền nghiệm.
• Sai → $M$ không thuộc.

Với hệ gồm nhiều bất phương trình, $M(x_0; y_0)$ thuộc miền nghiệm hệ $\Leftrightarrow$ $M$ thoả mọi bất phương trình. Bước 1. Thay $M$ vào từng bất phương trình. Bước 2. Nếu tất cả đúng → $M$ thuộc miền. Bước 3. Chỉ cần 1 bất phương trình SAI → $M$ KHÔNG thuộc.

Bước 1. Lập hệ ràng buộc từ đề (số lượng $\geq 0$, tài nguyên có hạn,...). Bước 2. Lập hàm mục tiêu $F = \alpha x + \beta y$ (lợi nhuận / chi phí). Bước 3. Vẽ miền $D$, xác định các đỉnh — giao của các đường biên. Bước 4. Tính $F$ tại từng đỉnh. Bước 5. So sánh → kết luận GTLN/GTNN và phương án tương ứng.

Bước 1. Vẽ từng bất phương trình → mỗi cái cho 1 nửa mặt phẳng. Bước 2. Phần giao của tất cả các nửa mặt phẳng = miền nghiệm hệ. Bước 3. Miền có thể là đa giác (kể cả không bị chặn). Mẹo: tô đậm phần giao, hoặc gạch chéo các phần loại để dễ thấy miền nghiệm.

Khi $c \neq 0$: $O(0;0)$ KHÔNG thuộc đường thẳng → là điểm thử tốt. Thay $O$ vào: $c > 0$ (hoặc $\geq 0$) → $O$ thoả → miền chứa $O$. Nhanh hơn nhiều so với tính toạ độ điểm khác.

Trường hợp $\geq, \leq$: biên (đường thẳng $ax + by + c = 0$) thuộc miền. Trường hợp $>, <$: biên KHÔNG thuộc miền. → Nếu $M$ nằm đúng trên biên (cho $T = 0$):

• $\geq, \leq$: thuộc miền.
• $>, <$: KHÔNG thuộc miền.

Nếu miền $D$ không bị chặn theo hướng làm $F$ tăng (giảm) vô hạn:

• GTLN (hoặc GTNN) tương ứng có thể không tồn tại.

Chỉ tính giá trị tại đỉnh khi miền bị chặn trong khoảng quan tâm. Quan sát: vẽ vectơ pháp tuyến của hàm mục tiêu để biết hướng tăng/giảm.