Mệnh đề và tập hợp

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai, không đồng thời vừa đúng vừa sai.

• Câu hỏi, câu cảm thán → KHÔNG phải mệnh đề.
• Mỗi mệnh đề có duy nhất 1 trong 2 giá trị: đúng (T) hoặc sai (F).

Phủ định của mệnh đề $P$, ký hiệu $\overline{P}$ (hoặc $\neg P$):

• $P$ đúng $\Leftrightarrow \overline{P}$ sai (và ngược lại).

Phủ định: thêm 'không' hoặc đổi cấu trúc khẳng định ↔ phủ định.

• $\forall x \in X, P(x)$: 'với mọi $x$ thuộc $X$, $P(x)$ đúng'. Sai khi có 1 phản ví dụ.
• $\exists x \in X, P(x)$: 'tồn tại $x$ thuộc $X$, $P(x)$ đúng'. Đúng khi chỉ cần 1 ví dụ.

Phủ định: $\overline{\forall x \in X, P(x)} = \exists x \in X, \overline{P(x)}$. $\overline{\exists x \in X, P(x)} = \forall x \in X, \overline{P(x)}$.

Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định mà tính đúng-sai phụ thuộc vào giá trị của biến. Ký hiệu $P(x), Q(x), R(x; y), \dots$ với biến $x, y$ thuộc tập $X$. Vd: $P(n)$: '$n$ là số nguyên tố'. $P(2)$ đúng, $P(4)$ sai.

Tập đúng của $P(x)$ trên $X$: $$\{x \in X \mid P(x) \text{ đúng}\}.$$ $\forall x \in X, P(x)$ đúng $\Leftrightarrow$ tập đúng = $X$. $\exists x \in X, P(x)$ đúng $\Leftrightarrow$ tập đúng $\neq \emptyset$.

Tập hợp là khái niệm gốc, không định nghĩa. Một tập hợp $A$ gồm các phần tử $x$.

• $x \in A$: $x$ thuộc $A$. $x \notin A$: $x$ không thuộc $A$.
• $\emptyset$: tập rỗng — không có phần tử nào.
• Có 2 cách cho tập hợp:

+ Liệt kê phần tử: $A = \{1; 2; 3\}$. + Mô tả tính chất: $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \leq x \leq 3\}$.

Cho $a < b$:

• $[a; b] = \{x \mid a \leq x \leq b\}$: đoạn (đóng).
• $(a; b) = \{x \mid a < x < b\}$: khoảng (mở).
• $[a; b), (a; b]$: nửa khoảng.
• $[a; +\infty), (-\infty; b]$: nửa đường thẳng đóng / mở.

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$:

• $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; \dots\}$: số tự nhiên. $\mathbb{N}^* = \mathbb{N} \setminus \{0\}$.
• $\mathbb{Z}$: số nguyên.
• $\mathbb{Q}$: số hữu tỉ (biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{p}{q}$).
• $\mathbb{R}$: số thực.

Cho $a$ là số đúng, $\overline{a}$ là số gần đúng: $$\Delta_a = |a - \overline{a}|.$$ Thường ta không biết chính xác $a$ → dùng độ chính xác $d$ thoả $\Delta_a \leq d$. Khi đó viết $a = \overline{a} \pm d$.

$$\delta_a = \dfrac{\Delta_a}{|\overline{a}|}.$$ Thường biểu diễn dưới dạng %. Sai số tương đối nhỏ → kết quả 'tốt hơn'.

Chữ số $c$ ở hàng $10^k$ của $\overline{a}$ là chữ số đáng tin (còn gọi là chữ số chắc) nếu sai số tuyệt đối $\Delta_a \leq \dfrac{1}{2} \cdot 10^k$. → Quyết định việc làm tròn / viết kết quả.

$$\overline{a} = \alpha \cdot 10^n,$$ với $1 \leq |\alpha| < 10$ và $n \in \mathbb{Z}$. Vd: $3.45 \cdot 10^6$ = $3 \, 450 \, 000$. $1.2 \cdot 10^{-3} = 0.0012$.

$\forall x, P(x)$ đúng: chứng minh đúng cho mọi $x$ trong $X$.

• Cách phổ biến: biến đổi đại số → đúng với mọi $x$.

$\forall x, P(x)$ sai: tìm 1 phản ví dụ $x_0$ sao cho $P(x_0)$ sai. $\exists x, P(x)$ đúng: tìm 1 ví dụ $x_0$ sao cho $P(x_0)$ đúng. $\exists x, P(x)$ sai: chứng minh không tồn tại $x$ thoả → $\forall x, \overline{P(x)}$ đúng.

Bước 1. Vẽ trục số, biểu diễn từng tập bằng đoạn/khoảng. Bước 2. Hợp: gộp các phần tô; Giao: phần chung tô. Bước 3. Đọc kết quả thành khoảng / hợp các khoảng. Vd: $[1; 5] \cap (3; 7) = (3; 5]$. Vd: $(-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$ = $\mathbb{R} \setminus (2; 4)$.

Quy tắc làm tròn đến hàng $10^k$: Bước 1. Giữ các chữ số từ hàng đó trở lên. Bước 2. Nhìn chữ số ngay sau:

• $\geq 5$: làm tròn lên (cộng 1 vào chữ số cuối giữ lại).
• $< 5$: giữ nguyên.

Bước 3. Bỏ các chữ số sau hàng đã làm tròn (thay bằng 0 nếu cần).

Quy tắc: đổi $\forall$ ↔ $\exists$ + phủ định mệnh đề bên trong. Vd: $\overline{\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0} = \exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$. Vd: $\overline{\exists n \in \mathbb{N}^, 2^n > 1000} = \forall n \in \mathbb{N}^, 2^n \leq 1000$.

Khi bài hỏi mệnh đề $\forall$ đúng/sai, luôn thử trước:

• $x = 0, 1, -1, 2, -2, \dots$
• $x = 1/2, x = 1/3, \dots$ (cho mệnh đề số thực)
• $x = $ nghiệm của một phương trình liên quan.

Nếu 1 trong các giá trị làm $P(x)$ sai → mệnh đề sai.

Bài 'có bao nhiêu phần tử trong $A \cup B$': $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.$$ $$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|.$$

Kết quả nên giữ số chữ số đáng tin đủ dùng, không thừa. Nguyên tắc: khi cộng/trừ — lấy theo độ chính xác hàng cuối lớn nhất. Khi nhân/chia — lấy số chữ số có nghĩa nhỏ nhất giữa các thành phần.