Đa giác đều. Hình quạt tròn

Đa giác đều là đa giác có: 1. Tất cả các cạnh bằng nhau. 2. Tất cả các góc bằng nhau. Vd: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều...

Đa giác đều $n$ cạnh có:

• $n$ trục đối xứng: qua mỗi đỉnh và trung điểm cạnh đối diện (hoặc qua trung điểm 2 cạnh đối diện).
• Tâm đối xứng: chỉ khi $n$ chẵn (trùng tâm đường tròn ngoại tiếp).
• Có 1 tâm xoay = tâm đường tròn ngoại tiếp; góc xoay = $\dfrac{360°}{n}$.

Mọi đa giác đều có đường tròn ngoại tiếp + đường tròn nội tiếp, và 2 đường tròn này đồng tâm $O$:

• $R$ = bán kính ngoại tiếp = khoảng cách $O$ đến đỉnh.
• $r$ = bán kính nội tiếp = khoảng cách $O$ đến trung điểm cạnh (apothem).
• Cạnh $a$, $r$, $R$: $r^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = R^2$.

Đa giác $n$ cạnh:

• Tổng các góc trong: $(n - 2) \cdot 180°$.
• Đa giác đều: mỗi góc trong = $\dfrac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$.
• Mỗi góc ngoài = $\dfrac{360°}{n}$.

Vd: lục giác đều ($n = 6$): góc trong = $\dfrac{4 \cdot 180°}{6} = 120°$, góc ngoài = $60°$.

$$r = R \cos(\pi/n) = \dfrac{a}{2 \tan(\pi/n)}.$$ Vd: lục giác đều cạnh $a$: $r = a \cos 30° = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot r = \dfrac{n \cdot a \cdot r}{2},$$ với $p = n a$ = chu vi. Hoặc: $S = \dfrac{1}{2} n R^2 \sin(2\pi/n)$ (theo $R$). Vd: lục giác đều cạnh $a$: $S = 6 \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Đa giác đều $n$ cạnh, cạnh $a$: $$R = \dfrac{a}{2 \sin(\pi/n)}.$$ Tương đương: $a = 2 R \sin(\pi/n)$. Vd: tam giác đều ($n=3$): $R = \dfrac{a}{2 \sin 60°} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Hình vuông ($n=4$): $R = \dfrac{a}{2 \sin 45°} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Lục giác đều ($n=6$): $R = \dfrac{a}{2 \sin 30°} = a$.

Cung tròn bán kính $R$, số đo $n°$ (hoặc $\alpha$ radian): $$\ell = \dfrac{\pi R n}{180} \quad (\text{khi } n \text{ tính bằng độ}).$$ $$\ell = R \alpha \quad (\text{khi } \alpha \text{ tính bằng radian}).$$ Chu vi cả đường tròn: $C = 2\pi R$ (khi $n = 360°$ hoặc $\alpha = 2\pi$).

Hình quạt bán kính $R$, số đo $n°$: $$S_{\text{quạt}} = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{R \ell}{2}.$$ (Với $\ell$ = độ dài cung tương ứng.) Diện tích cả đường tròn: $S = \pi R^2$.

Viên phân = phần giới hạn bởi 1 cung và dây căng cung đó. $$S_{\text{viên phân}} = S_{\text{quạt}} - S_{\text{tam giác}},$$ với $S_{\text{tam giác}} = \dfrac{1}{2} R^2 \sin n°$ (tam giác có 2 cạnh = $R$, góc kẹp $n°$).

Cung $n°$ chiếm $\dfrac{n}{360}$ của cả đường tròn:

• $\ell = \dfrac{n}{360} \cdot 2\pi R$.
• $S_{\text{quạt}} = \dfrac{n}{360} \cdot \pi R^2$.

→ Tỉ lệ phần trăm cung × giá trị toàn đường tròn = giá trị cần tìm. Đơn giản hơn nhớ công thức.