Sở GD&ĐT Bắc Ninh — Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2026 — Lần 2

Câu 1.Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P): x - 3y + 4z + 5 = 0$. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M$ và song song với $(P)$ có phương trình là

Câu 2.Xét mẫu số liệu cho bởi bảng ghép nhóm sau đây: | Nhóm | $[2;6)$ | $[6;10)$ | $[10;14)$ | $[14;18)$ | $[18;22)$ | |---|---|---|---|---|---| | Tần số | $5$ | $8$ | $13$ | $12$ | $6$ | Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

Câu 3.Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2 - u_1 = 5$. Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho là

Câu 4.Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3\sin x$ trên $(-\infty; +\infty)$ là

Câu 5.Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{-1} = \dfrac{z-4}{3}$. Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ có toạ độ là

Câu 6.Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x-3}{x+1}$ là đường thẳng có phương trình

Câu 7.Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{mx^2 + nx + p}{qx + r}$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Câu 8.Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ bằng vectơ nào dưới đây?

Câu 9.Biết $F(x) = \dfrac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $(0; +\infty)$. Giá trị của $\displaystyle\int_1^2 2\big[f(x) + x\big]\,dx$ bằng

Câu 10.Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 11.Tập hợp nghiệm của bất phương trình $\log_{0,2} x > -1$ là

Câu 12.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

Câu 13.Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{3x-2}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$ và hai điểm $A(4;2)$, $B(-2;8)$.

Câu 14.Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;4;1)$, $B(-2;2;-3)$ và mặt phẳng $(P): x + y + z - 3 = 0$.

Câu 15.Trong một bể xử lý nước thải, số lượng vi khuẩn gây hại tại thời điểm $t$ được kí hiệu bằng $N(t)$ (đơn vị: con). Người ta nhận thấy rằng trong giai đoạn đầu (khi môi trường chưa bị hạn chế), tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn tuân theo quy luật hàm mũ và được mô hình hóa bởi hàm số $N'(t) = A\cdot e^{kt}$, trong đó $A, k$ là các hằng số dương, $t$ là thời gian (đơn vị: giờ). Từ các nghiên cứu thực nghiệm, người ta ước lượng được $A = 1000\ln 2$ và tại thời điểm $t = 1$ giờ có $3\,000$ vi khuẩn; $N'(1) = 2\,000\ln 2$. Biết rằng mức độ an toàn cho phép là không quá $65\,000$ vi khuẩn.

Câu 16.Một hộp có chứa $10$ quả bóng màu xanh và $15$ quả bóng màu đỏ (các quả bóng có cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Bạn Bắc lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó và không trả lại. Nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu xanh thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp. Nếu bạn Bắc lấy được quả bóng màu đỏ thì bạn Ninh lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả bóng từ số bóng còn lại trong hộp.

Câu 17.Hai cột điện $AC$, $BD$ có cùng chiều cao được dựng vuông góc với mặt đất và cách nhau $100$ mét ($AB = CD = 100$ mét). Một dây điện được treo từ đầu $A$ cột này đến đầu $B$ cột kia với $AC = BD$. Chọn hệ tọa độ $Oxy$ sao cho tia $Ox$ trùng với tia $OD$ ($O$ là trung điểm $CD$), tia $Oy$ cùng hướng với tia $CA$, mỗi đơn vị trên các trục là $1$ mét. Khi đó, người ta thấy rằng dây điện nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và tạo thành một đường cong catenary có phương trình $y = 223,5\left(e^{\frac{x}{447}} + e^{-\frac{x}{447}}\right) - 430$, với $-50 \leq x \leq 50$. Gọi khoảng cách từ điểm thấp nhất trên dây điện đến đường thẳng nằm ngang $AB$ là độ võng của dây điện. Hỏi độ võng của dây điện bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Câu 18.Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): y - 2 = 0$, đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2 \\ y = 4 - t \\ z = 2 \end{cases}$ và hai điểm $A(-2;-6;22)$, $B(1;0;16)$. Hai điểm $M$, $N$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $2$ và $NA = 2NB$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng bao nhiêu?

Câu 19.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 1$, $AD = \sqrt{3}$, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Biết khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu?

Câu 20.Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Các cung $\overparen{QM}, \overparen{MN}, \overparen{NP}, \overparen{PQ}$ lần lượt là các cung tròn của các đường tròn tâm $A, B, C, D$ với bán kính bằng nhau. Biết diện tích "tứ giác cong" $MNPQ$ (miền bị gạch chéo) bằng $16(4 - \pi)$ dm². Hỏi khi cho "tứ giác cong" $MNPQ$ quay quanh trục $NQ$ ta thu được vật thể có thể tích bằng bao nhiêu đêximét khối? (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 21.Chọn ngẫu nhiên cặp số bất kì $(x;y)$ thoả mãn $x, y$ thuộc tập hợp $\{2026; 2026^2; 2026^3; \ldots; 2026^{24}; 2026^{25}\}$. Xét biến cố $A$: “$\log_x y$ có giá trị là một số nguyên”. Biết rằng xác suất của biến cố $A$ bằng $\dfrac{a}{b}$ (với $a, b$ là các số nguyên dương, phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản). Hiệu $a - b$ bằng bao nhiêu?

Câu 22.Khi đặt trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với trục $Ox$ nằm ngang trên mặt đất, trục $Oy$ hướng thẳng lên trên, đơn vị trong hệ trục là $1$ kilômét thì đường đi của một khinh khí cầu bắt đầu xuất phát từ điểm $O$ được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$. Biết đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ $(8;0)$ và đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(6;4)$. Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất $3900$ mét thì hình chiếu của nó trên trục $Ox$ cách gốc tọa độ bao nhiêu kilômét?